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1、3.3QR方法在特征值计算问题上，QR方法具有里程碑意义。在1955年的时候，人们还觉得特征值的计算是十分困扰的问题，到1965年它的计算——基于QR方法的程序已经完全成熟。直到今天QR方法仍然是特征值计算的有效方法之一。QR方法是1961年由J.G.F.Francis(弗兰西斯)和V.N.Kublanovskaya设计的。QR分解是QR算法的基础。QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩阵）全部特征值问题的最有效方法之一。QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.计算特征值问题的QR方法，实际上总是分成2个阶段：一
2、般矩阵上Hessenberg矩阵上三角矩阵对称矩阵三对角矩阵对角矩阵Householder方法（正交变换）QR方法QR方法Householder方法（正交变换）提问：对于一般实矩阵A∈Rn×n,可以通过正交相似变换约化到什么程度？补定理：设A∈Rn×n，则存在一个正交矩阵R，使其中对角块为一阶或二阶方阵，每一个一阶对角块即为A的实特征值，每一个二阶对角块的两个特征值是A的一对共轭复特征值。定义:拟上三角(上Hessenberg)阵指一个n阶方阵B，B满足:当i>j+1时，bij=0。拟上三角矩阵有如下的形式:本节讨论
3、两个问题:1、用正交相似变换约化一般实矩阵为上Hessenberg阵。2、用正交相似变换约化对称矩阵为三对角阵。这样，求原矩阵特征值问题，就转化为求上Hessenberg阵或对称三对角阵矩阵的特征值问题。3.3.1矩阵的QR分解理论定义1把矩阵A分解为一个正交阵Q与一个上三角阵R的乘积,称A的正交三角分解,简称QR分解.定义2设v∈Rn是单位向量,即vTv=1,令H=I-2vvT(3.18)其中,I是n×n单位矩阵,则矩阵H满足:HT=H;HTH=(I-2vvT)(I-2vvT)=I.即,H是对称的正交阵.式(3.18
4、)定义的矩阵H称为Householder(豪斯荷尔德)矩阵,又称镜面映射矩阵.注：镜面映射矩阵又称初等反射矩阵.简称H-矩阵，它被单位向量v唯一确定。设向量u≠0，则显然H是一个Householder(豪斯荷尔德)矩阵。(补)定理设x，y为两个不相等的n维向量，，则存在Householder矩阵H，使Hx=y任给非零向量x，令y=Hx，则。 正交变换是保模变换。证明：令引理3.1设有非零向量s∈Rn和单位向量e∈Rn,必存在Householder矩阵H，使得Hs=e其中是实数，并且。证取单位向量其中用单位向量v确定
5、一个H-矩阵，则有又因故代入v的表达式(3.19)例给定向量x=(2,2,1)T，确定H，使Hx的后两个分量为零。解：防止a与x1抵消，以利于算法稳定。书P66.9设有向量s=(-2,1,2)T，r=(4,3,0)T，确定H，使u=Hs成为长度s与相等、方向与r同向的向量。解：定理3.2任何n阶方阵A总可以分解为一个 正交阵Q与一个上三角阵R的乘积。证:正交阵Q与上三角阵R的构造过程如下：设n阶方阵A=[aij];er=(0,…,0,1,0,…,0)T是n维单位坐标向量。（1）设ai1(i=2,3,…,n)不全为零,令
6、A的第一列的长度防止c1与a11抵消，以利于算法稳定。构造H-矩阵由引理3.1,有故si是A的列向量若ai1(i=2,3,…,n)全是零,令H1=I,并且A2=H1A=A.（2）设ai2(2)(i=3,4,…,n)不全为零,令构造H-矩阵n-1阶H矩阵再用引理3.1,有故若ai2(2)(i=3,4,…,n)全是零,令H2=I,并且A3=H2A2=A2.一般地,若依上法已经得到矩阵,又设不全为零,则令构造H-矩阵有及若air(r)(i=r+1,r+2,…,n)全是零,令Hr=I,有Ar+1=HrAr=Ar.于是,当r=n
7、-1时,得到H-矩阵H1,H2,…,Hn-1,使得An=Hn-1Hn-2…H1A.(3.20)是一个上三角阵.由上式可以得到A=(Hn-1Hn-2…H1)-1An=(H1…Hn-2Hn-1)An令Q=H1…Hn-2Hn-1,R=An,Q是正交阵,R是上三角阵,且有等式A=QR.补例用Householder方法将下述矩阵作QR分解。>>A=[-4-37;232;427]A=-4-37232427>>[Q,R]=QRself(A)num=1Hr=-0.66670.33330.66670.33330.9333-0.13330
8、.6667-0.13330.7333Ar=6.00004.33330.66670.00001.53333.26670.0000-0.93339.5333Sr=01.5333-0.9333num=2Hr=1.0000000-0.85420.519900.51990.8542Ar=6.00004.33330.66670.0000-1.
