计算方法第1章_绪论

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1、第一章绪论1.1数值计算现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有力的基础。通常我们面对的理论与技术问题，绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型，因此，求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。一、本课程的任务：寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学（算术）的方法求解——了解计算的基础方法，基本结构（否则只须知道数值软件）——并研究其性质。立足点：面向数学——解决数学问题面向计算机——利用计算机作为工具充分发挥计算机的功

2、能，设计算法，解决数学问题例如：迭代法、并行算法二、问题的类型1、离散问题：例如，求解线性方程组——从离散数据：矩阵A和向量b，求解离散数据x；2、连续问题的离散化处理：例如，数值积分、数值微分、微分方程数值解；3、离散问题的连续化处理：例如，数据近似，统计分析计算；1.2数值方法的分析在本章中我们不具体讨论算法，首先讨论算法分析的基础——误差。一般来讲，误差主要有两类、三种（对科学计算）：1）公式误差——“截断误差”，数学计算，算法形成——主观（人为）：数学问题-数值方法的转换，用离散公式近似连续的数学函数进行计算时，一般都会发生误差，通常称之

3、为“截断误差”；——以后讨论2）舍入误差及输出入误差——计算机，算法执行——客观（机器）：由于计算机的存储器、运算器的字长有限，在运算和存储中必然会发生最末若干位数字的舍入，形成舍入误差；在人机数据交换过程中，十进制数和二进制数的转换也会导致误差发生，这就是输入误差。这两种误差主要是由于计算机的字长有限，采用浮点数系所致。首先介绍浮点数系一、计算机上的运算——浮点运算面向计算机设计的算法，则先要讨论在计算机上数的表示。科学记数法——浮点数：约定尾数中小数点之前的数全为零，小数点后第一个数不能为零。目前，一般计算机都采用浮点数系，一个存储单元分成首

4、数和尾数：××┅┅┅┅×××┅┅┅┅┅┅┅┅××首数尾数(位)其中首数存放数的指数（或“阶”）部分，尾数存放有效数字。对于b进制，尾数字长为t位的浮点数系中的（浮点）数，可以用以下形式表示：此处，指数（称为阶）限制在范围内。以下记实数系中的实数为，它在浮点数系中对应的浮点数记为——进制，尾数位数，阶的范围。几乎所有近代计算机都采用“二进制”（即）：位、字节和字分别是指位数不同的二进制数。例如十进制转换二进制100000001200000010400000100800001000900001001100000101027位是一个二进制数（即0或1）

5、；字节是8个二进制数字；上表的最后一列是字节。单精度浮点数（singleprecision）按32位存储，双精度浮点数（doubleprecision）按64位存储。精度用于指明每个浮点数保留多少位以及尾数和阶数各分配多少位。单精度浮点数的尾数为23位、阶数为8位；双精度浮点数的尾数为53位（包含符号位）、阶数为11位（包含符号位）。双精度浮点数的等价二进制数如下所示：浮点数的特点：1、实数转换到浮点数——浮点化，〈缺点：〉总会产生误差（除极个别的情况：）按四舍五入，绝对误差：（举例），〈优点：〉浮点化产生的相对误差有界（与数字本身的数量级无关）

6、注：设实数，则按进制可表达为：按四舍五入的原则，当它进入浮点数系时，若，则若，则对第一种情况：对第二种情况：就是说总有：另一方面，由浮点数要求的，有，将此两者相除，便得2、每一个浮点数系的数字有限：3、浮点数系中的运算非自封闭,（因为数字有限等）例：在中，，运算和,的结果显然已不在此浮点数系内，而或也不在此浮点数系内，需结果才在此浮点数系内。浮点运算应注意：1）避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数参加运算；2）避免“大”“小”数相加减；3）避免相近数相减，防止大量有效数字损失；4）尽可能简化运算步骤，减少运算次数。原因：记，由，可得：（“

7、。”表示任意一种四则运算）此处是由机器字长（实质上是尾数字长的大小）确定的常数（它反映了实际运算的精度）。显然，若要求运算的舍入误差小，应使运算结果（如：）较小。尤其是小分母运算：，小大误差。其次，当浮点数系中两个数量级相差较大的数相加（或减），注意到由于浮点数系中数字字长的有限性，可能导致“大数吃小数”。例如，中，则似乎没有参加运算。第三，同样，由于浮点数系中数字字长的有限性，当两个相近数相减时：例如，在中，，两数相减：，计算结果仅剩2位有效数字，而原来参加运算的数字有8位有效数字，这将严重影响最终计算结果的精度。二、算法分析作为一个可用的算法

8、，必须考虑其效率和可靠性，定义：计算机完成一个乘法和一个加法，称为一个浮点运算（记为flop）；注：由于计算机在运算时，加（减）法所耗时