计算方法第1章绪论

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1、1计算方法华中科技大学CAD中心2教材《计算方法》张诚坚，何南忠。。高等教育出版社《计算方法简明教程》王能超高等教育出版社徐长发实用计算方法华中科技大学出版社。任选Matlab使用手册一本时间:32学时=20学时+12学时上机考核:课堂与作业(20%)+上机(10%)+考试(70%)联系方式：13871458387luonm@mail.hust.edu.cn罗年猛上机:请学习委员联系机房3第一章  绪论§1引言§2误差的种类及其来源§3绝对误差和相对误差§4有效数字及其与误差的关系4§1引言计算方法也称

2、数值分析。数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法，即数值计算。利用计算机求出数学问题得到数值解的全过程，称为数值计算。使用计算机解决科学计算问题时大致经历如下几个过程：5随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国防尖端技术，例如机电产品设计、工程项目设计、气象预报、武器研制、火箭发射等，都有大量复杂的数值计算问题急待解决。实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算结果可视化6用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际

3、问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代数方程……等等，然后选择合适的计算方法，编制出计算机程序，最后上机调试并进行计算，以得到所欲求解的结果。7数值计算方法，将要求解的数学模型简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不仅仅是数学公式，而是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。8选择适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，计算n次多项式：若直接计算，再逐项相加，共需做9n=10时需做55次

4、乘法和10次加法。若用秦九韶(Horner)算法，将多项式P(x)改成来计算时,只要做n次乘法和n次加法即可。10算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，由于数值计算的近似性和误差的传播、积累，直接影响到计算结果的精度，甚至关系到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。11数值计算过程中会出现各种误差，往往是无法避免的，例如近似值带来的误差，模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的

5、积累，以确保计算结果的精度。12可用四种算式算出：计算实例13如果分别用近似值和按上列四种算法计算，其结果如下表1-1所示。141234序号算式计算结果表1-1115由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和算法的数值稳定性概念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。16§2误

6、差的种类及其来源数值计算中，误差主要有如下几种：2.1模型误差在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为“模型误差”。172.2观测误差在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着

7、误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。2.3截断误差在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。18这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例如，函数sinx和ln(1+x)可分别展开为如下的无穷幂级数：(2.1)(2.2)19则由于它们的第四项和以后各项都舍弃

8、了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起。(2.4)(2.3)若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取20的后段的产生的截断误差。（2.3)和(2.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(2.1)和(2.2)都是交错级数，当x<1时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差可分别估计为：和212.4舍入误差在数值计算过程中，由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能是有限位数，这时就需把数据舍入成