【教学课件】《2.3 函数的单调性》（北师大）

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1、第三章·函数函数的单调性北京师范大学出版社

2、必修一新课导入浙江卫视强力打造的大型专业音乐评论节目《中国好声音》在2016年采用原创模式，改名为《中国新歌声》，四位导师刘欢、那英、周杰伦、陈奕迅言传身教，为中国乐坛的发展提供一批怀揣梦想、具有天赋才华的音乐人，树立中国电视音乐节目的新标杆，该节目在第一季的时候各期收视率如图所示冠军：蒋敦豪期数第一期第二期第三期第四期第五期第六期第七期第八期第九期第十期第十一期第十二期第十三期播出时间7.137.207.278.38.108.178.248.319.79.149.219.289.29收视率%1.4772.717

3、3.0752.7253.3104.0194.2334.2014.2814.5674.8654.5994.133中国好声音第一季各期收视率统计图期数从左向右看图像，先增后减；收视率先随着期数的增加而增大后随着期数的增加而减少。探索新知在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2∈A，当x1

4、2y=f(x)f(x1)f(x2)增函数的图像在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2∈A，当x1f(x2)，那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的。（2）减函数的定义注意：①定义域的一个区间A上②任意x1,x2∈A③x1f(x2)减函数的图像xy0x1x2y=f(x)f(x1)f(x2)如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为y=f(x)的单调区间。（3）单调区间的定义（4）单调性的定义如果y=f(x)在定义

5、域的某个子集上是增加的或是减少的，那么称y=f(x)在这个子集上具有单调性。（5）单调函数的定义如果y=f(x)在整个定义域上是增加的或是减少的，那么称y=f(x)分别为增函数或减函数，统称为单调函数。（6）最大值的定义一般地，对于函数y=f（x），其定义域为D，f（x0）=M,使得对于任意的x∈D，都有f（x）M，那么我们称M是函数y=f（x）的最大值，即当x=x0时，f（x0）是函数y=f（x）的最大值，记作ymax=f（x0）（7）最小值的定义一般地，对于函数y=f（x），其定义域为D，f（x0）=M,使得对于任意的x∈D，都有f（x）M，那么我们称

6、M是函数y=f（x）的最小值，即当x=x0时，f（x0）是函数y=f（x）的最小值，记作ymin=f（x0）质疑答辩，发展思维说一说下面所画函数的图象的变化趋势(1)xy1-1y=x+10(3)xyy=-x20(2)xy2y=-2x+201解：（1）在定义域上是增函数（2）在定义域上是减函数（3）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减。（4）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上也单调递减。(4)xy0y=思考1：能说在定义域上单调递减吗？y=1/x解：不能。因为在定义域上不满足自变量越大，函数值越小的特点，如x=-1时，y=-1，x=1时

7、，y=1，此时自变量越大，函数值并没有越小，所以不能这样说。解：（1）取值：在定义域的区间上任意取两个实数x1，x2，并规定两个实数的大小x1x2)。（2）作差：将两个实数x1，x2代入y=f（x）中得到f（x1），f（x2），将其作差得f（x1）-f（x2）。（3）变形：将上述的差变成多个因式相乘或相除。（4）定号：判断上面每一个因式的正负号。（5）结论：自变量大，函数值大得增函数；自变量小，函数值大得减函数。思考2：如何利用定义证明函数的单调性？思考3：如何求函数的最值？（1）图像法：在定义域的图像上的最高点就是函数的最大值，最低点就是

8、函数的最小值。（2）单调性法：利用函数的单调性求最值（单调递增函数在自变量最小的时候取函数的最小值，自变量最大时取函数的最大值；单调递减函数在自变量最小的时候取函数的最大值，自变量最大时取函数的最小值）。例题讲解例1说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性。y=解：函数的图象如图所示：y=0xy由图象可知(-∞,0)和(0,+∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减少的。y=例2证明函数在(0,+∞)是递减的。y=证明:任取x1,x2∈（0，+∞）且x10,x1x2>0；所以f

9、(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)所以函数在(0,+