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1、学案5数列的应用数列的应用1.运用等差数列、等比数列的有关知识，解决两种数列互相交叉、互相渗透的一些综合问题.2.理解一般数列的求和方法.3.初步掌握数列的递推公式，运用这些知识解决一些综合问题.4.通过解决数列型应用题，提高分析问题和解决问题的能力，学会如何建立数学模型，解决实际问题.从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列有关的应用题.数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面.1.
2、数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.（1）数列是一种特殊的，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.（2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为、数列或常见的特殊数列问题.函数等差等比（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的.（4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对进行讨论；由Sn求an时，要对进行分类讨论.2.数
3、列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型.n=1或n≥2公比（1）建立数学模型时，应明确是模型、模型，还是模型，是求an还是求Sn.（2）数列综合应用题的解题步骤①审题——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.②分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.③求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答.递推数列等差数列等比数列具体解题步骤如下框图:3、数列应用题常见模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为
4、a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=.(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=.(3)产值模型原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=.(4)分期付款模型a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则a(1+xr)a(1+r)xN(1+p)x已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和.（1）求通项an及Sn;（2）设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn.考点1等差、等比数列的综合应用【解析】（1）∵{an}是首项为a1=19,公差为d=
5、-2的等差数列，∴an=19-2(n-1)=21-2n,Sn=19n+n(n-1)×(-2)=20n-n2.（2）由题意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1,∴bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+…+3n-1)=-n2+20n+.【分析】在{an}中，因为a1,d已知，则an可求，Sn可求，而数列{bn-an}中，首项、公比已知，则通项可求，所以bn可求.【评析】（1）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.（2）利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数
6、列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是与(an+1)2的等比中项.（1）求证：数列{an}是等差数列；（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.【解析】（1）证明：由题知Sn=(an+1)2,当n=1时，a1=(a1+1)2,∴a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(an+1)2-(an-1+1)2,∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0.∵an>0,∴an-an-1-2=0.即当n≥2时，an-an-1=2.∴数列{an}是等差数列.（2）由（1）知数列{an}是以
7、1为首项，以2为公差的等差数列.∴an=1+(n-1)·2=2n-1.∵bn==，则Tn=+++…++,①∴Tn=+++…++,②由①-②得又已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈N*.（1）证明：{an-1}是等比数列；（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由.【分析】由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn，建立an与a
