5-4数列的综合应用

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1、5.4数列的综合应用一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋2n，则a100等于(　　)A．9900B．9902C．9904D．11000解析：由已知an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋2＝n2－n＋2，∴a100＝9902.答案：B2．数列{an}前n项和Sn与通项an满足Sn＝nan＋2n2－2n(n∈N*)，则a10－a100的值为(　　)A．90B．180C．360D．400解析：∵Sn＝nan＋2n2－2n，①∴当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1＋2(n－1)2－2(n－1

2、)．②①－②得an＝nan－(n－1)an－1＋2(2n－1)－2，整理得an－an－1＝－4，即{an}为公差为－4的等差数列，∴a10－a100＝(100－10)×4＝360.答案：C3．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是(　　)A．4B．5C．6D．7解析：正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列，其棱长分别为：2,，1，，，…，n层正方体的表面积为：8＋＝40－32()n.由已知：40－32()

3、n>39，整理得：2n>32，∴n>5.答案：C4．数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于(　　)A.B．()n－1C．()nD.解析：由x1＝1，x2＝，＋＝(n≥2)得：－＝－，{－}组成常数列，首项－＝，－＝，＝＋＝1＋＝.答案：A二、填空题5．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是an＝________.解析：(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，即为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0，而an＞0，an＋1＞0，∴an＋1＋an≠0，∴(n＋1)an＋1－nan＝

4、0，即＝，∴an＝a1…＝1····…·＝.答案：6．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1＞0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________.解析：设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1＜0.解不等式an＞0，即a1＋(n－1)(－a1)＞0，所以n＜，则n≤9，当n≤9时，an＞0，同理可得n≥10时，an＜0.故当n＝9时，Sn取得最大值．答案：97．已知数列{an}满足＝(n∈N*)，且a1＝1，则an＝________.解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知可得，当n≥2时利用累积法得：an＝a1

5、···…·＝1····…··＝，又验证知a1＝1也适合，故an＝.答案：三、解答题8．已知a＞0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn＝anlgan(n∈N*)(1)求数列{bn}的前n项和Sn；(2)当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的范围．解答：(1)根据已知条件an＝a1qn－1＝an，∴bn＝anlgan＝nanlga．Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(a＋2a2＋…＋nan)lga，①∴aSn＝[a2＋2a3＋…＋(n－1)an＋nan＋1]lga．②①－②得(1－a)Sn＝(a＋a2＋…＋an－nan＋1)lga＝[－nan＋1]lga，

6、∴Sn＝[－]lga.(2)根据已知条件：bn＜bn＋1，即nanlga＜(n＋1)an＋1lga，nlga＜(n＋1)alga，①若lga＞0即a＞1时，n＜(n＋1)a即＜a，∴a＞1；②若lga＜0即0＜a＜1时，n＞(n＋1)a即＞a，≥，∴a＜.由①②可知满足条件的a的范围是0＜a＜或a＞1.9．在等比数列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，且an＋1＜an(n∈N*)(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan，求Tn的最大值及此时的n值．解答：(1)根据已知条件：即又an＋1＜an，可解得a1＝32，a6＝1，q＝＝，∴an＝

7、32·＝26－n.(2)Tn＝lga1＋lga2＋…＋lgan＝lg(a1a2…an)＝lg(25·24…·26－n)＝lg2[5＋4＋…＋(6－n)]＝lg2，当n＝5或n＝6时，Tn取到最大值15lg2.10．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的