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《北京交通大学曲线积分与曲面积分习题课(讲)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、曲线积分与曲面积分习题课习题课主讲黎传琦PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn曲线积分的概念及性质曲线积分的理论及计算方法曲面积分的概念及性质曲面积分的理论及计算方法PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn曲线积分的概念及性质一对弧长的曲线积分1.定义函数f(x,y)在曲线弧L对弧长的曲线积分或第一类曲线积分.记作òf(x,y)ds,即L被积函数nòf(x,y)ds=limåf(xi,hi)×ΔsiLl®0i=1积
2、分弧段弧元素积分和式物理意义:线密度为m(x,y)的曲线形构件的质量,即M=òm(x,y)dsL3PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn2.性质(1)与积分路径的方向无关,即òL⌒f(x,y)ds=òf(x,y)ds(AB)L(⌒BA)⌒(2)对路径具有可加性,即若AB由C,C,L,C所组成,12k且任何两线段之间无重叠部分,则ò⌒f(x,y)ds=L(AB)òf(x,y)ds+òf(x,y)ds+L+òf(x,y)dsC1C2Ck4PDF文件使用"pdfFac
3、toryPro"试用版本创建www.fineprint.cn补充在运分用析问题和对称性简化算题时对弧长的曲常用的对线称积分性质设函数计算时f,应同(x,y)时在考虑被一条光滑积函数(或分段光滑f(x,y)与积)的曲线分L上连续曲线L的对,L关于称性y轴.(或x轴)对称,则òf(x,y)dsLì0,当f(x,y)是L上关于x(或y)的奇函数=íî2òf(x,y)ds,当f(x,y)是L上关于x(或y)的偶函数L1L1是曲线L落在y(或x)轴一侧的部分.5PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建ww
4、w.fineprint.cn1988年研究生考题,填空(3分)22xy例设L为椭圆+=1,其周长为a,则4322ò(2xy+3x+4y)ds=(12a).L22解ò(2xy+3x+4y)dsL对22=ò2xyds+ò(3x+4y)ds称LL=0性122=0+ò12×(3x+4y)dsL1222xy=12ò(+)ds=12ò1ds=12a.L43L6PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn曲线积分的概念及性质二对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)1.定义òP(x,y)
5、dx+Q(x,y)dy=Lnlimå[P(xi,hi)×Δxi+Q(xi,hi)×Δyi]l®0i=1rrr物理意义:变力F=P(x,y)i+Q(x,y)j⌒沿AB所作的功WrrrrrrW=ò⌒F×ds=òAB⌒(Pi+Qj)×(dxi+dyj)ABr=Pdx+Qdyds=(dx,dy)òAB⌒7PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cny2.性质LL2(1)对路径具有可加性.L1如果把L分成L和L,则12OxòLPdx+Qdy=òPdx+Qdy+òPdx+QdyL
6、1L2(2)与积分路径的方向有关.设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,则yòP(x,y)dx+Q(x,y)dyL-L-L=-òP(x,y)dx+Q(x,y)dyLOx8PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn补充在分析问题和算题时常用的对称性质对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于x轴对称,L在上半平面部分与下半平面部分的走向相反时,则ì0P(x,y)为y的偶函数òP(x,y)dx=íLî2òP(x,y)dxP(x,y)为y的奇函数L1其中
7、L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,对òQ(x,y)dy的讨论也有相应的结论.L9PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cndx+dy例计算ò,其中ABCDA为x+y=1,xy+1ABCDAy取逆时针方向.B(0,1)解法一直接化为定积分计算,-x+y=1x+y=1由曲线积分的性质.则C(-1,0)OA(1,0)xò=ò+ò+ò+ò-x-y=1x-y=1D(0,-1)ABCDAABBCCDDAdx+dydx+dydx+dydx+dy=ò+ò+ò+òABxy+1BC
8、-xy+1CDxy+1DA-xy+1-01ddxx-+ddxx-11ddxx++ddxx0dx-dx==òò1++òò+òx=-t0-x(x1(-1+x)x+)+1100-xx((11-+xx))++11-1x(-1-x)+10-11dxd+xdx1dx0=2+ò+2ò0=00ò0-x(x1(1-+xx)+)+11x(1-x)+110PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本
