曲线积分与曲面积分习题课(北工大

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1、曲线积分与曲面积分第一节曲线积分第二节曲面积分一.第一型曲线积分定理若曲线是光滑的，即　　　　在　　　连续，且不同时为零，函数　　　　在连续，则函数在存在第一型曲线积分，且(1)(2)(3)其它形式的计算方法推广若三维欧氏空间中光滑曲线的参数方程是则第一型曲线积分为空间曲线　的弧长微分为1.计算其中C为圆周2.计算　　　　　　　　其中C为螺旋线的一段．3.计算积分其中C为由曲线所界的凸围线．连续，且则与在的第二型定理如果函数在有向光滑曲线曲线积分都存在，且二、第二型曲线积分对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐

2、标.特殊情形(1)则(2)则(3)推广格林公式定理若函数及其偏导数在有界闭区域D上连续，则有其中　　是围成闭区域D的边界封闭曲线，取正向．三、格林公式注:对于不是封闭的曲线可以加些简单的辅助曲线使其构成封闭曲线.格林公式四、曲线积分与路径无关的条件定理若函数,以及在单连通区域G连续，下列四个断语是等价的：与路线C无关，1.曲线积分即只与始点A与终点B有关；2.在G中存在一个函数,使4.对G内的任意光滑闭曲线3.定理若在单连通区域G内函数是的原函数，而与　　　　是G内任意两点，则4.其中C为沿曲线　　　从(-1,1)到(1,1)．其中C为域的正方

3、向的围线．5.6．7．计算其中AO是从点⌒的上半圆周到点定理若曲面块S:是光滑或者逐片光滑的，其中D是有其中界闭区域。函数在曲面S连续，则函数在S的第一型曲面积分存在，且五、第一型曲面积分的计算法则按照曲面的不同情况分为以下三种：(1).其它情形曲面积分的计算法设S在面的投影区域为,(3).(2).设S在面的投影区域为,则设S在面的投影区域为,则９．计算其中S为平面被柱面所截得的部分.8.计算曲面积分其中S是柱面被平面所截取的部分。其中S是上半球面10.定理若有光滑曲面S:其中D是有界闭区域。函数在曲面S连续，则函数在S第二型曲面积分其中符号

4、“”由曲面s的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定。六.第二型曲面积分的计算方法存在，且定理设　是　中的双侧闭曲面S所围成的型（同时既是　又是　型）有界闭体．若三元函数　　　　　　　　　　　及其偏导数在包含　的区域上连续，则其中曲面S的外侧为正．奥-高公式七、奥-高公式外侧,定理设S是光滑或分片光滑的有向有界曲面，S的边界C是光滑或逐段光滑的有向闭曲线．C的正向与S的正侧符合右侧法则．若三元函数及其偏导数在包含曲面S的空间区域内连续，则斯托克斯公式八．斯托克斯公式另一种形式上述形式便于记忆.斯托克斯公式可写成定理若三元函数及其偏导数在单连通

5、体V连续，则下列四个断语是等价的：１）曲线积分与路径C无关，即只与始点A与终点B有关；２）在V内存在函数使３）　　　　　　，有４）对V内任意光滑或逐段光滑闭曲线　　有11.计算外侧.12.计算