曲线积分与曲面积分习题课(I)

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1、第十章习题课曲线积分与曲面积分一基本要求1．理解两类曲线和曲面积分的概念,了解两类积分的性质以及两类积分的关系.2．掌握计算两类曲线、曲面积分的方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件.4.了解高斯公式,并会用公式求曲面积分.5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长,质量,重心,转动惯量,引力、功和流量等）.二.要点提示弧微分设L：（1）对弧长（第一类）1.曲线积分的计算——化为定积分计算（2）对坐标（第二类）设L：2．曲面积分的计算（化为二重积分）若（1）对面积（第一类）的曲面积分若下侧，则若上侧，则（2）对坐标（第二类）的曲面积分3.格林公式—

2、—平面上曲线积分与二重积分的关系（1）曲线积分与路径无关的条件L取正向.以及等价关系.（2）添加曲线使积分曲线弧段成为闭曲线，利用格林公式求曲线积分.4.高斯公式——曲面积分与三重积分的关系三问题与思考问题1下列运算正确吗？解（1）正确.(2)错误，因为二重积分的积分包括圆的边界和内部，正确的是问题1设为平面在柱面下面两个积分的解法是否正确？内那一部分的上侧，三问题与思考正确错误是在xoy面上的投影，因为第二个积分是对坐标的曲面积分，如果是下侧，则故正确的作法是：其中的微元问题2.如何正确理解两类曲线积分和曲面积分的概念？答：由于实际需要,曲线积分与曲面积分为两种类型,有关质量

3、﹑重心﹑转动惯量等数量积分问题导出第一类线面积分;有关变力作功,流体流过曲面的流量等向量问题导出第二类线、面积分.前者被积函数化为数量函数沿区域积分,无需考虑方向性,而后者被积函数是向量函数,必须考虑方向.因此,一个函数的积分可以由积分区域的有向或无向分为两种类型的积分.在所学过的积分中区域无向的积分有：重积分,第一类曲线积分和第一类曲面积分区域有向的积分有：定积分,第二类曲线积分和第二类曲面积分.曲线的方向是由起点到终点（定积分）或切向量的方向来确定,曲面的方向则由曲面上点的法向量所指向的侧来确定.问题3设是半球面的外侧.有人说：“由对称性知故同样也有”,对吗?不对讨论题由此

4、给出对弧长的曲线积分的几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积（准线y=y(x)为底边，z=f(x,y)为高的面积）y=y(x)平面上对弧长的曲线积分几何意义：例1计算。四典型题目解解改写L：因为积分曲线L关于y轴对称，函数2xy是x例3设L为椭圆其周长为a，求解原式=的奇函数，因此有而所以L取顺时针方向.t从变到0.例4计算曲线积分其中L是曲线因此可令再由得解这里L由一般方程给出，首先要将一般从z轴正向看去，方程化为参数方程.注意到于是L参数方程t从变到0.解法2由对称性（轮换性）的下侧.是介于之间

5、的部分，它的法向量指向前侧.解由于曲面在xoy面的投影为一半圆周曲线，所以例7求面积为0，对于分为两块右侧与在xoz面上的投影区域相同,即而侧相反，故.左侧对于在yoz面上的投影区域为故因此，原积分前侧