现代控制理论理论new

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1、控制科学与工程研究生专业基础课程-2第二章线性系统的运动分析主要内容：自由运动§1状态转移矩阵的求解§2线性定常系统的受控运动§3离散系统的状态空间描述§4离散时间系统状态方程的解§5连续时间状态空间表达式的离散化§6对于不同系统，其状态空间表达式的一般形式为对于线性定常系统，状态空间表达式中各元素均是常数，与时间无关，状态空间表达式为(2-1)(2-2)式中A、B、C、D为常系数矩阵§1自由运动1-1线性定常系统自由运动的定义运动可分为自由运动和强迫运动，自由运动的定义如下定义2-1线性定常系统在没有控制作用时，由初始条件引起的运动称为自由运动。状态方程可表示为齐次方程(2-3)若状态向量的

2、初始值为，齐次方程的解可表示为(2-4)§1自由运动仿照标量,指数函数展开成幂级数形式(2-6)将式（2-4）括号内矩阵的无穷项级数和称为矩阵指数函数，记为，即(2-5)1-2自由运动解的组成§1自由运动则齐次方程的解可表示为(2-7)若初始时刻，对应的初始状态为，则齐次方程的解可表示为(2-9)将矩阵指数函数称为系统的状态转移矩阵，记为，即(2-8)(2-10)§1自由运动齐次方程的解，可表示为(2-12)(2-11)或上式表明齐次状态方程的解，在初始状态确定情况下，由状态转移矩阵唯一确定，即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性。§1自由运动1-3状态转移矩阵的

3、性质1）2）3）4）§1自由运动6）7）5）对于矩阵A和B，如果满足AB=BA,则§1自由运动§2状态转移矩阵的求解2-1状态转移矩阵的求解方法状态转移矩阵可以通过以下五种方法计算得到1）直接级数展开法根据矩阵指数的定义直接计算例2-1已知，求。(2-13)§2状态转移矩阵的求解解：根据定义有§2状态转移矩阵的求解该方法具有步骤简便、易于编程，适用于计算机求解。缺点是计算结果是一个无穷级数，不易获得解析式，不适合手工计算。2）拉普拉斯变换法对线性定常齐次状态方程式（2-3）两边取拉普拉斯变换，得整理有取拉普拉斯反变换，可得齐次状态方程的解为(2-14)(2-15)§2状态转移矩阵的求解比较式(

4、2-16)与式(2-6)，且根据定常微分方程组解的唯一性，有(2-16)(2-17)例2-2求如下线性定常系统的状态转移矩阵和解：§2状态转移矩阵的求解§2状态转移矩阵的求解3）化矩阵A为对角标准型法若矩阵M为对角矩阵，且A的特征根没有重根的情况下，即(2-18)§2状态转移矩阵的求解则(2-19)§2状态转移矩阵的求解找到变换矩阵Q，通过下式变换，即(2-20)§2状态转移矩阵的求解则状态转移矩阵为(2-21)§2状态转移矩阵的求解例2-3如下矩阵用化为对角阵法计算解：A的特征值为0和-2，求其变换矩阵§2状态转移矩阵的求解4）化矩阵A为约当标准型若A为一个的约当块，其重复的特征值为(2-2

5、2)§2状态转移矩阵的求解则(2-23)§2状态转移矩阵的求解若矩阵A为一约当矩阵，即其中为约当块(2-24)§2状态转移矩阵的求解则(2-25)§2状态转移矩阵的求解当A的N个特征值都相同时，经线性变换可化为约当形矩阵J(2-26)§2状态转移矩阵的求解则(2-27)§2状态转移矩阵的求解例2-4线性定常系统的齐次状态方程为求系统的状态转移矩阵解：根据已知条件求出特征值为三重的§2状态转移矩阵的求解则§2状态转移矩阵的求解5）应用凯莱-哈密尔顿定理当A的特征值互异时，有(2-28)§2状态转移矩阵的求解当A有重特征值时，设矩阵A有m重特征值，其余特征值互异。满足将上式依次对求导m-1次，得(

6、2-29)(2-30)§2状态转移矩阵的求解再将其余个单特征根考虑在内，即解上述方程组，得出系数(2-31)§2状态转移矩阵的求解例2-5考虑如下矩阵，用有限项法计算解：A的特征值为0和-2，由（2-26）式可得下方程组将两特征值代入上式得§3线性定常系统的受控运动3-1线性定常系统受控运动的定义定义2-2线性定常系统在控制输入信号作用下的运动，称为受控运动。其状态方程为定理2-1若非齐次状态方程的解存在，则有(2-32)(2-33)§3线性定常系统的受控运动证明：由状态方程得，上式左乘得对上式进行的积分，得上式化简为§3线性定常系统的受控运动因此上式两边再左乘，且有，则同样从上式可以看出，可

7、通过选择使的轨线满足要求§3线性定常系统的受控运动例2-6系统状态方程为其中为单位阶跃函数，求方程的解。解§3线性定常系统的受控运动第一项为转移项§3线性定常系统的受控运动第二项为受控项离散系统高阶差分方程描述形式：脉冲传递函数描述：如何得到状态空间表达式？（2-34）（2-35）§4离散系统的状态空间描述选择状态变量（2-36）（2-37）§4离散系统的状态空间描述4-1将标量差分方程化为状态空