江科大现代控制理论习题new

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1、例1被控系统状态方程，可否用状态反馈任意配置闭环极点?求状态反馈阵，使闭环极点位于-10，，并画出状态变量图。解系统状态完全可控，则用状态反馈任意配置闭环极点。系统能控矩阵，rank=3系统完全能控，可用状态反馈任意配置闭环极点。设状态反馈阵，则系统希望的特征方程为反馈系统的特征方程为=比较以上二式，有解得，，，。即例4系统的状态方程为（1）系统可否采用状态反馈来镇定系统，而使系统是渐进稳定的？（2）可否用状态反馈使闭环极点为：，（3）可否用状态反馈使闭环极点为：，解（1）根据对角阵的可控性判据可知，状态不可

2、控，其不可控子空间的特征值为-5，表明系统是可镇定的。（2）用状态反馈只能任意配置可控状态的极点，不可控不能改变其极点-5，因此不能使。（3）可以实现闭环极点，可控子系统的状态方程为，引入状态反馈期望的闭环系统特征多项式为引入状态反馈后的闭环系统特征多项式为：比较和同次项系数，可得。例5设系统传递函数为，能否利用状态反馈将传递函数变成？若有可能，求出状态反馈阵。解反馈前传递函数，系统可控标准型反馈后传递函数系统可控标准型引入状态反馈。得到，则。例10已知受控系统的系数矩阵为,,，试设计观测器，使观测器极点为两

3、重根。解：（1）判断可观性。可观性矩阵秩为2，系统完全可观测，观测器极点可以任意配置。（2）由期望极点确定期望特征值多项式（3）确定观测器误差输出反馈阵。令，则观测器的特征多项式令，可以解出（4）写出观测器方程，并指明状态观测值。是的观测值，是的观测值。例11已知受控系统系数矩阵为，，试设计观测器，使极点为、和。解：（1）判断可观测性。可观测性矩阵满秩。状态完全可观测，观测器的极点可以任意配置。（2）由期望极点可知期望特征多项式为（3）确定化第二可观测标准型的变换阵。受控系统的特征多项式化第二可观测标准型的变

4、换阵的逆为则变换阵为（4）在规范型下的矩阵为（5）原系统下的矩阵为（6）观测器的状态方程为其中为的观测值。（7）校核例1设控制系统的状态方程为，，其中为非零正常数，试分析系统的稳定性。解本题是考核应用李雅普诺夫第二法判定系统的稳定性，其关键是李雅普诺夫函数的确定。令确定系统平衡点，得。取李雅普诺夫函数可见，当时，；当时，。所以，系统在原点是渐进稳定的，又因为当

5、时，，所以系统在原点是大范围渐进稳定的。例2系统状态方程为，，试证明，当，时，系统平衡状态是大范围渐进稳定的。证明设，则，令，求得为系统的平衡状态。又

6、当，时，有，；，所以，当，时，系统平衡状态是大范围渐进稳定的。例6已知描述振荡器电压的Vanderpol方程为，式中，试确定系统渐进稳定的参数的取值范围。解令，则系统的状态方程为，这是一个非线性状态方程，其平衡状态为，将方程线性化，得，矩阵的特征方程为，根据李亚普诺夫第一法，要使系统在平衡状态是稳定的，则必须满足，由于有，所以有，即。例7已知非线性系统为，试用李亚普诺夫第一法确定系统平衡点邻域的稳定性。解系统的平衡状态满足，解出平衡点为，其雅可比矩阵为，当时，线性化矩阵为，特征值为，解得，特征根带有负实部，因

7、此系统是稳定的。当时，线性化矩阵为，特征值为，解得，特征根一正一负，因此系统是不稳定的。