一维浅水流动方程的Godunov 格式求解

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1、第14卷第4期水科学进展Vol114,No142003年7月　ADVANCESINWATERSCIENCEJul1,2003一维浅水流动方程的Godunov格式求解1,222潘存鸿,林炳尧,毛献忠(11上海大学理学院,上海　200436;21浙江省水利河口研究院,浙江杭州　310020)摘要:以准确Riemann解为基础,建立了求解一维非平底浅水流动方程的Godunov格式,用“水位方程法(WaterLevelFormulation,WLF)”求解Riemann解,结合中心差分和Riemann解离散底坡项,保证了计算格式的和谐性。经算例验证,方法健全、通用,且分

2、辨率高。关　键　词:一维浅水流动方程;Godunov格式;Riemann解;源项中图分类号:TV13112文献标识码:A文章编号:100126791(2003)042430207自从1959年Godunov在博士论文中提出了利用Riemann解求解双曲型方程的格式以来,40余年中,已经不断改进。VanLeer等发展了二阶精度Godunov格式,使得该格式更有吸引力。因为Godunov格式具备模拟大梯[1]度流动和自动捕捉激波的能力,在计算流体力学中得到了广泛的应用。[2]1981年,Marshall和Mendez应用Riemann解求解浅水流动方程,开辟了此方程

3、新的求解途径。最近10年来,以Riemann解为基础的Godunov型格式求解浅水流动方程的研究成果逐渐增多,从一维发展到二维,成为[3]求解浅水大梯度流动的主要方法。如果不考虑底坡和摩阻作用,则无源项的浅水流动方程类似于空气动力学中的欧拉方程,早期工作大多针[3～12,20][9]对齐次浅水流动方程,直接移植空气动力学中成熟的Godunov格式。在此基础上,许为厚等应用欧拉2拉格朗日统一坐标系准确模拟了带滑移线的浅水间断流动。事实上,浅水流动模拟的关键是河床起伏的模拟。应用常规的分步法求解非平底浅水方程时,计算结果不具和谐性,即在静水条件下,流速不为零,且水位

4、不再为常数。近几年已有学者致力于非平底浅水流动方程和[13～19]圣维南方程求解的研究,文献[17,18]在此取得了较大的进展。本文以准确Riemann解为基础,采用Godunov格式求解一维非平底浅水流动方程,得到了和谐的计算结果,并给出了算例。1　控制方程及其求解方法111　控制方程及控制体积法考虑源项的一维浅水流动方程守恒形式为5U5F+=S(1)5t5xhuh0式中U=;F=212;S=。其中,u为流速;h为水深;g为重力加速度;S0huhu+ghgh(S0-Sf)2db为底坡项,S0=-gh;b为河底高程;Sf为阻力项。dx收稿日期:200220320

5、1;修订日期:2002204216基金项目:国家自然科学基金资助项目(40106010)作者简介:潘存鸿(1963-),男,浙江宁波人,浙江省水利河口研究院教授级高级工程师,主要从事河口海岸规划研究。E2mail:panch@mail1hz1zj1cn©1995-2003TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.　第4期潘存鸿等:一维浅水流动方程的Godunov格式求解431对式(1)在一个单元积分,并引用Green公式,即得控制体积法基本公式为n+1n+1n+1n11U=U-F1dt-F1dt+S

6、dxdt(2)Δx∫i+2∫i-2Δxknnnn式中　下标为单元序号;上标为时间步长数;Δt、Δx分别为时间和空间步长;U为U在t=t时刻的平均值,即1i+2n1U=Undxt=tΔx∫1i-2n+1U亦然;F为穿越单元边界x1或x1的通量。1959年,Godunov建议将Riemann问题的解取作为单元边界i-i+22上的通量,构成Godunov格式。在尚未受到相邻断面影响的一段时间内,单元边界上Riemann问题的解U是常数,因此,式(2)即可写成Un+1=Un-ΔtFi+1(RS;Ui,Ui+1)-Fi-1(RS;Ui-1,Ui)+S…Δt(3)iiΔx2

7、2i112Riemann问题及其解忽略源项后,式(1)对应的Riemann问题提法为5U5F+=0t>05t5x(4)Ul,x<0U(0,x)=Ur,x>0由于初始条件简单,式(4)有准确解。如图1所示,在x-t平面上有两个波,或激波,或稀疏波,分别向左、右传播。两个波把区域分割成左波左边的L、右波右边的R,以及两波之间的M3个常状态区。图1　一维浅水方程Riemann解结构图2绘出了4种可能的流动,即①左波为稀疏波、右波为激波;Fig11Structureofthegeneralsolutionof②左波为激波、右波为稀疏波;③左、右波均为稀疏波;④左、右波R

8、iemannproble