双复特征值约束下的逆二次特征值问题

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1、第32卷第l期工程数学学报v01．32N0．12015t#02~]CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSFeb．2015doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．01．005文章编号：1005—3085(2015)01—0039-ii双复特征值约束下的逆二次特征值问题木黄贤通(赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000)摘要：在设计电路和带阻尼弹簧质点系统等实际问题中，求解逆特征值问题是重要的方法．本文研究了如下的电路设计问题，已知电感矩阵M、电阻矩阵、电容矩阵的部分信息，寻找未知量的

2、值，使电路系统具有预先给定的频率．我们将该问题转化成了双复特征值约束下的两类逆二次特征值问题，通过求解二次特征行列式方程组，给出了问题有解的存在性条件和解的表达式．文中给出了算法和数值算例，实验结果说明了所得结论的正确性．关键词：二次特征值方程组；逆二次特征值问题；复特征值分类号：AMS(2000)15A24；15A57；65F99中图分类号：O241．6文献标识码：A1引言本文研究对称矩阵三元组(M，，)下特殊结构的两类逆二次特征值问题：问题1(QIEVP—CK—M)已知矩阵，KERx4和M∈4x4中的12，对于预先给定的复数和，≠，求矩阵M中的实数f3和Z

3、4，使得下式成立问题2(QIEVP～MK—C)已知矩阵M，KER×4和C∈R×4中的r】和r4，对于预先给定的复数和，≠，求矩阵C中的实数r2和r3，使得式(1)成立．M=(专。要至]，=(r毫r≤。-=)，．收稿日期：2013-05-14．作者简介：黄贤通(1966年1月生)，男，博士，教授．研究方向：数值代数及其应用基金项目：江西省教育厅科技项目fGJJ10585)．40工程数学学报第32卷二次特征值问题是指已知矩阵三元组M，，，求数和向量z满足detQ(A)=0，这里Q()=M+AC+K，此时称满足detQ()=0的为二次特征值，满足Q(入)z=0的茁称

4、为对应于入的特征向量，称(入，)为特征对．这类问题来源于带阻尼的弹簧质点系统【1-4】f此时，M对应质量矩阵，对应阻尼矩阵，对应刚度矩阵)和二阶电路系统【2】(此时，M对应电感矩阵，对应电阻矩阵，对应电容矩阵)．逆二次特征值问题，是指根据矩阵三元组M，C，的部分信息，寻找，，的全部信息，使得具有事先给定的特征值，或具有事先给定的特征对，前者被称为逆二次特征值问题，后者被称为逆二次特征对问题．文献『51讨论了由不足2n个特征对信息构造M，C，K矩阵的情形，文献『61讨论了由2n个特征对信息构造含参数的M，C，K矩阵的情形，文献『71讨论了二次特征系统的修正问题，

5、文献[8]给出了求解二次特征值问题多个特征对的一种并行方法．本文研究双复特征值约束下的两类逆二次特征值问题，即预先给定两个复数，在已知特殊结构对称矩阵三元组部分信息情况下，求解二次特征方程组得到矩阵中未知元素的值，使得矩阵三元组以两复数为二次特征值．在第2节和第3节给出了问题有解的存在性条件和解的表达式，在第4节给出了数值算例，说明了算法的有效性．2问题1的解为了求解问题1，可整理11()12()13()002l()22()24()M+AC+Kl=31()0A213+33()-d3042()-d3A214+44()这里11()=z2+r2+d2，22()=。2

6、2+A(r2+1"4)，12()=21(入)=一A2z2，33()=(r2+r4)+d3，44()=At4+d3+d4，13()=31()=一At2，24()=~42(A)=一r4．进一步展开，容易整理得到：定理1v(A)=l入M+AC+Kl的表达式为()=ao()+al(A)／3+a2(A)／4+a3(A)1314，(2)这里ao(A)=[()zz()一2()2()][s。(入)()一d；]一11()24()42()33(入)+[21()42()13()+2(入)24(入)31()]d3一3()s()[()()一()z()]，第1期黄贤通：双复特征值约束下的

7、逆二次特征值问题41a2(A)=。[11()22()33()一21()l2()33()一31()13()22()]，(兰：；兰：；兰：；)(兰)=(二兰：：；)．c3(窆)=(兰：；兰；)一(二兰；三；)．42工程数学学报第32卷又当02()+a3()t)／3≠0，a2()+a3()z3≠0时，成立2=一(a0()+al(A)／3)／(az(入)+a3(入)23)，(4)14=一(0o()-4-n()zs)／(0()+a3()zs)．因l4是同一的，由上两式知(n0()+al(A)／3)(0()+a3(#)／3)=(00()+0()2s)(a2()+a3()f

8、3)．整理上式得确定13的二次方程n垮