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时间:2019-05-24
《浙江省2019高考数学精准提分练解答题滚动练1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、解答题滚动练11.已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=(1-cosA).(1)求A;(2)若a=7,sinB+sinC=,求△ABC的面积.解 (1)由于sinA=(1-cosA),所以2sincos=2sin2,tan=.因为02、1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E,F分别是棱B1C1,A1A的中点.(1)证明:A1E∥平面B1FC;(2)求直线A1C与底面ABC所成的角的大小.(1)证明 取BC的中点G,连接EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连接PF,AG.在平行四边形AGEA1中,∵F为A1A的中点,∴A1E∥FP.而FP⊂平面B1FC,A1E⊄平面B1FC,故A1E∥平面B1FC.(2)解 过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H.连接HC,则∠A1CH就是直线A1C与底面ABC所成的角.∵BC⊥A1H,BC⊥AG,A1H∩AG=H,∴3、BC⊥平面A1GH,又∵AA1⊂平面A1GH,∴BC⊥AA1,而GE∥CC1∥A1A,A1E=AG,∴EG⊥BC.于是∠AGE为侧面B1BCC1与底面ABC所成二面角A-BC-E的平面角.由四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°.∵AA1=a,∴A1H=a.连接A1C,∵AC=AB,AA1=AA1,∠A1AC=∠A1AB,∴△A1AC≌△A1AB,∴A1C=a,∴sin∠A1CH==,故直线A1C与底面ABC所成的角为60°.3.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足an=(n≥2).求证:(1)数列是等差数列;(2)当n4、≥2时,S1+S2+S3+…+Sn<.证明 (1)当n≥2时,Sn-Sn-1=,Sn-1-Sn=2SnSn-1,∴-=2,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,=+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=,∴当n≥2时,Sn=<=·=,从而S1+S2+S3+…+Sn<1+=-<.4.如图,N(1,0)是圆M:(x+1)2+y2=16内一个定点,P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(1)当点P在圆上运动时,点Q的轨迹E是什么曲线?并求出其轨迹方程;(2)过点G(0,1)作直线l与曲线E交于A,B两点,点A关于原点5、O的对称点为D,求△ABD的面积S的最大值.解 (1)由题意得6、QM7、+8、QN9、=10、QM11、+12、QP13、=14、MP15、=4>2=16、MN17、,根据椭圆的定义,得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭圆,∴a=2,c=1,∴b=.∴轨迹方程为+=1.(2)由题意知S△ABD=2S△ABO=2××18、AB19、·d=d20、AB21、(d为点O到直线l的距离),由题意知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1,联立消去y,得(3+4k2)x2+8kx-8=0.Δ=64k2+32(3+4k2)=192k2+96>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,则22、23、AB24、=·=,又d=,∴S△ABD=d=,令=t,由k2≥0,得t≥1,∴S△ABD==,t≥1,易证y=2t+在上单调递增,∴2t+≥3,S△ABD≤,∴△ABD面积S的最大值为.
2、1B=a,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°,E,F分别是棱B1C1,A1A的中点.(1)证明:A1E∥平面B1FC;(2)求直线A1C与底面ABC所成的角的大小.(1)证明 取BC的中点G,连接EG与B1C的交点为P,则点P为EG的中点,连接PF,AG.在平行四边形AGEA1中,∵F为A1A的中点,∴A1E∥FP.而FP⊂平面B1FC,A1E⊄平面B1FC,故A1E∥平面B1FC.(2)解 过A1作A1H⊥平面ABC,垂足为H.连接HC,则∠A1CH就是直线A1C与底面ABC所成的角.∵BC⊥A1H,BC⊥AG,A1H∩AG=H,∴
3、BC⊥平面A1GH,又∵AA1⊂平面A1GH,∴BC⊥AA1,而GE∥CC1∥A1A,A1E=AG,∴EG⊥BC.于是∠AGE为侧面B1BCC1与底面ABC所成二面角A-BC-E的平面角.由四边形A1AGE为平行四边形,得∠A1AG=60°.∵AA1=a,∴A1H=a.连接A1C,∵AC=AB,AA1=AA1,∠A1AC=∠A1AB,∴△A1AC≌△A1AB,∴A1C=a,∴sin∠A1CH==,故直线A1C与底面ABC所成的角为60°.3.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足an=(n≥2).求证:(1)数列是等差数列;(2)当n
4、≥2时,S1+S2+S3+…+Sn<.证明 (1)当n≥2时,Sn-Sn-1=,Sn-1-Sn=2SnSn-1,∴-=2,从而构成以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,=+(n-1)×2=2n-1,∴Sn=,∴当n≥2时,Sn=<=·=,从而S1+S2+S3+…+Sn<1+=-<.4.如图,N(1,0)是圆M:(x+1)2+y2=16内一个定点,P是圆上任意一点.线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.(1)当点P在圆上运动时,点Q的轨迹E是什么曲线?并求出其轨迹方程;(2)过点G(0,1)作直线l与曲线E交于A,B两点,点A关于原点
5、O的对称点为D,求△ABD的面积S的最大值.解 (1)由题意得
6、QM
7、+
8、QN
9、=
10、QM
11、+
12、QP
13、=
14、MP
15、=4>2=
16、MN
17、,根据椭圆的定义,得点Q的轨迹E是以M,N为焦点的椭圆,∴a=2,c=1,∴b=.∴轨迹方程为+=1.(2)由题意知S△ABD=2S△ABO=2××
18、AB
19、·d=d
20、AB
21、(d为点O到直线l的距离),由题意知,直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx+1,联立消去y,得(3+4k2)x2+8kx-8=0.Δ=64k2+32(3+4k2)=192k2+96>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,则
22、
23、AB
24、=·=,又d=,∴S△ABD=d=,令=t,由k2≥0,得t≥1,∴S△ABD==,t≥1,易证y=2t+在上单调递增,∴2t+≥3,S△ABD≤,∴△ABD面积S的最大值为.
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