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时间:2019-05-24
《浙江省2019高考数学精准提分练解答题滚动练4》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、解答题滚动练41.已知△ABC中,若角A,B,C对应的边分别为a,b,c,满足a++4cosC=0,b=1.(1)若△ABC的面积为,求a;(2)若A=,求△ABC的面积.解 (1)由S=absinC=asinC=,得asinC=,即sinC=.又a+=-4cosC,那么2=16cos2C=16(1-sin2C)=16-,即a4-14a2+49=0,得到a2=7,即a=.(2)由题意有a+=-4cosC及余弦定理cosC=,则a+=-4·=-,即a2+1=c2,①又由b2+c2-a2=2bccosA,可知
2、c2-a2+1=c,②由①②得到c2-3c+6=0,亦即=0,可知c=或c=2.经检验知,c=或c=2均符合题意.那么△ABC的面积为S=bcsinA=或.2.已知菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于一点O,∠A=60°,将△BDC沿着BD折起得△BDC′,连接AC′.(1)求证:平面AOC′⊥平面ABD;(2)若点C′在平面ABD上的投影恰好是△ABD的重心,求直线CD与平面ADC′所成角的正弦值.(1)证明 因为C′O⊥BD,AO⊥BD,C′O∩AO=O,所以BD⊥平面C′OA,又因为BD⊂平面AB
3、D,所以平面AOC′⊥平面ABD.(2)解 方法一 设C′在平面ABD上的投影为H,即C′H⊥平面ABD,过点H作HP∥CD交AD于点P,过点H作HK⊥AD于点K,连接C′K,并过H作HQ⊥C′K于点Q,因为C′H⊥平面ABD,即AD⊥C′H,且有HK⊥AD,HK∩C′H=H,HK,C′H⊂平面KC′H,所以AD⊥平面KC′H,又QH⊂平面KC′H,所以AD⊥QH,又因为HQ⊥C′K,且AD∩C′K=K,AD,C′K⊂平面ADC′,故HQ⊥平面ADC′,从而知∠HPQ是PH与平面ADC′所成的角,设AB=
4、a,则在Rt△HPQ中有PH=,HQ=a,所以sin∠HPQ=,所以PH与平面ADC′所成角的正弦值为,故CD与平面ADC′所成角的正弦值为.方法二 如图,以点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系.令AB=a,则A,B,D,C′,∴=,=,==,设平面ADC′的法向量为m=(x,y,z),由∴y=-x,z=x,∴可取m=,∴cos,m==,故CD与平面ADC′所成角的正弦值为.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x2+=1的短轴长相等,且C与Ω的长轴长相
5、等.(1)求椭圆C的方程;(2)设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,不经过F1的直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B,如果直线AF1,l,BF1的斜率依次成等差数列,求△AOB的面积的最大值.解 (1)由题意可得∴故椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,代入椭圆方程+=1,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,得m2<4k2+3.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.因为F1(-
6、1,0),所以kAF1=,kBF1=.因为2k=+,且y1=kx1+m,y2=kx2+m,所以(m-k)(x1+x2+2)=0,因为直线AB:y=kx+m不过焦点F1(-1,0),所以m-k≠0,所以x1+x2+2=0,从而x1+x2=-=-2,即m=.②由①②得2<3+4k2,化简得k2>.③过O点作直线AB的垂线,垂足为M,则
7、OM
8、=,
9、AB
10、=
11、x1-x2
12、,△AOB的面积S△AOB=
13、OM
14、
15、AB
16、=
17、m
18、===≤,当且仅当k2=时等号成立,满足Δ>0,故△AOB的面积的最大值为.4.已知函数f
19、(x)=.(1)若曲线f(x)在x=2处的切线过原点,求实数a的值;(2)若1x3+x2.参考数据:e≈2.7.(1)解 因为f(x)=,所以f′(x)==.由题意知,曲线y=f(x)在x=2处的切线过原点,则切线斜率k=f′(2)=,即=,整理得=1,所以a=1.(2)证明 由10,所以f(x)>x3+x2等价于-x2-x>0.设g(x)=-x2-x,则g′(x)=-2x-1.由x>0且a20、<0,所以g(x)在(a,a+1)上单调递减,所以当x∈(a,a+1)时,g(x)>ea+1-(a+1)(a+2).设t=a+1,则t∈(2,3).设h(t)=et-t(t+1),则h′(t)=et-2t-1,设φ(t)=et-2t-1,则φ′(t)=et-2,易知当t∈(2,3)时,φ′(t)>0,所以h′(t)在(2,3)上单调递增,所以h′(t)=et-2t-1>e2-2×2-1>0,所以h(t)在(2,3)上单调递增,
20、<0,所以g(x)在(a,a+1)上单调递减,所以当x∈(a,a+1)时,g(x)>ea+1-(a+1)(a+2).设t=a+1,则t∈(2,3).设h(t)=et-t(t+1),则h′(t)=et-2t-1,设φ(t)=et-2t-1,则φ′(t)=et-2,易知当t∈(2,3)时,φ′(t)>0,所以h′(t)在(2,3)上单调递增,所以h′(t)=et-2t-1>e2-2×2-1>0,所以h(t)在(2,3)上单调递增,
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