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时间:2019-05-24
《浙江省2019高考数学精准提分练解答题滚动练5》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、解答题滚动练51.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB∥CD,CD=4,PA=AB=BC=AD=2,Q为棱PC上的一点,且PQ=PC.(1)证明:平面QBD⊥平面ABCD;(2)求直线QD与平面PBC所成角的正弦值.方法一 (1)证明 连接AC与BD交于点O,连接QO,则由△ABO∽△CDO,得AO=AC,由于PQ=PC,则有QO∥PA,由PA⊥平面ABCD,有QO⊥平面ABCD,又QO⊂平面QBD,所以平面QBD⊥平面ABCD.(2)解 过D作平面PBC的垂线,垂足为H,则∠DQH即为所求的线面角θ,设DH=h
2、,因为VQ-BCD=VD-BCQ,即S△BCD·QO=S△BCQ·h代入有×2×=××h,解得h=,又因为QD2=QO2+OD2,所以QD=,所以sinθ==.方法二 (1)证明 以A为原点,分别以射线AB,AP为x,z轴的正半轴,在平面ABCD内过A作AB的垂线,垂线所在射线为y轴,建立空间直角坐标系A-xyz,由题意知各点坐标如下:A(0,0,0),B(2,0,0),C(3,,0),D(-1,,0),P(0,0,2),Q,因此=(-3,,0),=,设平面QBD的一个法向量为n1,平面ABCD的一个法向量为n2,则取n1=(1,
3、,0),同理可取n2=(0,0,1),所以n1·n2=0,所以平面QBD⊥平面ABCD(2)解 设QD与平面PBC所成角为θ,=,=(2,0,-2),=(3,,-2),设平面PBC的一个法向量为n,则取n=,所以sinθ=
4、cos〈,n〉
5、==.所以QD与平面PBC所成角的正弦值为.2.已知函数f(x)=(t+1)lnx+tx2+3t,t∈R.(1)若t=0,求证:当x≥0时,f(x+1)≥x-x2;(2)若f(x)≥4x对任意x∈[1,+∞)恒成立,求t的取值范围.(1)证明 当t=0时,f(x)=lnx,f(x+1)=ln(x
6、+1),即证ln(x+1)≥x-x2.令g(x)=ln(x+1)+x2-x(x≥0),则g′(x)=+x-1=>0,从而函数g(x)在x∈[0,+∞)上单调递增,g(x)≥g(0)=0,即当x≥0时,f(x+1)≥x-x2.(2)解 由(1)知,当x≥0时,ln(x+1)≥x-x2,则当x≥1,即x-1≥0时,lnx=ln[(x-1)+1]≥(x-1)-(x-1)2=-x2+2x-.若t≤-1,则当x≥1时,(t+1)lnx+tx2+3t<0<4x,原不等式不成立.若t>-1,则当x≥1时,f(x)-4x=(t+1)lnx+tx2
7、-4x+3t≥(t+1)+tx2-4x+3t=(x2+4x+3),从而当f(x)≥4x恒成立时,t≥1.综上,满足题意的t的取值范围为[1,+∞).3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,抛物线E:y2=4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1,l2,l1交椭圆C于点A,B,l2交椭圆C于点G,H,若
8、AF
9、是
10、AH
11、-
12、FH
13、与
14、AH
15、+
16、FH
17、的等比中项,求
18、AF
19、·
20、FB
21、+
22、GF
23、·
24、FH
25、的最小值.解 (1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),即
26、c=1,又e==,∴a=2,b2=3,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)∵
27、AF
28、是
29、AH
30、-
31、FH
32、与
33、AH
34、+
35、FH
36、的等比中项,∴
37、AF
38、2=
39、AH
40、2-
41、FH
42、2,即
43、AF
44、2+
45、FH
46、2=
47、AH
48、2,∴直线l1⊥l2.又直线l1,l2的斜率均存在,∴两直线的斜率都不为零,故可设直线l1:x=ky+1(k≠0),直线l2:x=-y+1,A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4).由消去x,得(3k2+4)y2+6ky-9=0,∴同理得∴
49、AF
50、·
51、FB
52、=·=(1+k2)
53、y1y2
54、,
55、GF
56、·
57、
58、FH
59、=·=
60、y3y4
61、,∴
62、AF
63、·
64、FB
65、+
66、GF
67、·
68、FH
69、=(1+k2)
70、y1y2
71、+
72、y3y4
73、=(1+k2)·+·=9(1+k2)·===.又k2>0,∴k2+≥2,当且仅当k2=1时取等号,所求式子取最小值.故
74、AF
75、·
76、FB
77、+
78、GF
79、·
80、FH
81、的最小值为.4.在数列{an}中,已知a1=,an+1=,其中n∈N*.(1)求a2的值,并证明:an>an+1;(2)证明:an≤;(3)设Tn=++…+,求证:Tn>n-.证明 (1)由题意得an>0,a2===.方法一 ==≤1,所以an+1≤an,当且仅当an=1
82、时取等号,又an≤a1=,所以等号取不到.所以an+1
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