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时间:2020-04-11
《浙江省2019高考数学精准提分练解答题滚动练2.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、解答题滚动练21.如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A,B两点,x轴正半轴与单位圆交于M,已知S△OAM=,点B的纵坐标是.(1)求cos(α-β)的值;(2)求2α-β的值.解 (1)由S△OAM=和α为锐角,∴sinα=,cosα=.又点B的纵坐标是,∴sinβ=,cosβ=-.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=+×=-.(2)∵cos2α=2cos2α-1=2×2-1=-,sin2α=2sinα·cosα=2××=,
2、∴2α∈.∵β∈,∴2α-β∈.∵sin(2α-β)=sin2α·cosβ-cos2α·sinβ=-,∴2α-β=-.2.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=PC=2,AC=4,∠PBC=,点E在BC上,且BE=EC.(1)求证:平面PAB⊥平面PBC;(2)求AE与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明 因为PC⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PC⊥AB,PC⊥BC.又因为在△PBC中,PC=2,∠PBC=,所以BC=2,而AB=2,AC=4,所以AC2=AB2+BC2,
3、所以AB⊥BC.又AB⊥PC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以AB⊥平面PBC,又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解 设AE与平面PAB所成的角为θ.因为BE=EC,所以点E到平面PAB的距离dE=dC(dC表示点C到平面PAB的距离).过C作CF⊥PB于点F,由(1)知CF⊥平面PAB,易得dC=CF=,所以dE=dC=.又AE==,所以sinθ==.3.已知数列{an}的各项均为非负数,其前n项和为Sn,且对任意的n∈N*,都有an+1≤.(1)若a1=1,a5
4、05=2017,求a6的最大值;(2)若对任意n∈N*,都有Sn≤1,求证:0≤an-an+1≤.(1)解 由题意知an+1-an≤an+2-an+1,设di=ai+1-ai(i=1,2,…,504),则d1+d2+d3+…+d504=a505-a1=2016,∵≤=,∴d1+d2+…+d5≤20,∴a6=a1+(d1+d2+…+d5)≤21,∴a6的最大值为21.(2)证明 若存在k∈N*,使得ak5、,数列{an}严格递增,故a1+a2+…+an>ak+ak+1+…+an>(n-k+1)ak,对于固定的k,当n足够大时,必有a1+a2+…+an>1,与题设矛盾,∴{an}不可能递增,即只能an-an+1≥0.令bk=ak-ak+1(k∈N*),由ak-ak+1≥ak+1-ak+2得bk≥bk+1,bk≥0,故1≥a1+a2+…+an=(b1+a2)+a2+…+an=b1+2(b2+a3)+a3+…+an=…=b1+2b2+…+nbn+nan+1≥(1+2+…+n)bn=bn,∴bn≤,综上,对6、一切n∈N*,都有0≤an-an+1≤.4.已知函数f(x)=x2-x,g(x)=ex-ax-1.(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)g′(x)=ex-a.①当a≤0时,g′(x)>0,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;②当a>0时,当x∈(-∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a≤0时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,g(x)在7、(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)当x>0时,x2-x≤ex-ax-1,即a≤-x-+1.令h(x)=-x-+1(x>0),则h′(x)=(x>0).令F(x)=ex(x-1)-x2+1(x>0),则F′(x)=x(ex-2)(x>0).当x∈(0,ln2)时,F′(x)<0,F(x)单调递减;当x∈(ln2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)单调递增.又F(0)=0,F(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F(x)<0,即h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,8、+∞)时,F(x)>0,即h′(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(1)=e-1,所以a∈(-∞,e-1].
5、,数列{an}严格递增,故a1+a2+…+an>ak+ak+1+…+an>(n-k+1)ak,对于固定的k,当n足够大时,必有a1+a2+…+an>1,与题设矛盾,∴{an}不可能递增,即只能an-an+1≥0.令bk=ak-ak+1(k∈N*),由ak-ak+1≥ak+1-ak+2得bk≥bk+1,bk≥0,故1≥a1+a2+…+an=(b1+a2)+a2+…+an=b1+2(b2+a3)+a3+…+an=…=b1+2b2+…+nbn+nan+1≥(1+2+…+n)bn=bn,∴bn≤,综上,对
6、一切n∈N*,都有0≤an-an+1≤.4.已知函数f(x)=x2-x,g(x)=ex-ax-1.(1)讨论函数g(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.解 (1)g′(x)=ex-a.①当a≤0时,g′(x)>0,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;②当a>0时,当x∈(-∞,lna)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(lna,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.综上,当a≤0时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;当a>0时,g(x)在
7、(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增.(2)当x>0时,x2-x≤ex-ax-1,即a≤-x-+1.令h(x)=-x-+1(x>0),则h′(x)=(x>0).令F(x)=ex(x-1)-x2+1(x>0),则F′(x)=x(ex-2)(x>0).当x∈(0,ln2)时,F′(x)<0,F(x)单调递减;当x∈(ln2,+∞)时,F′(x)>0,F(x)单调递增.又F(0)=0,F(1)=0,所以当x∈(0,1)时,F(x)<0,即h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,
8、+∞)时,F(x)>0,即h′(x)>0,h(x)单调递增.所以h(x)min=h(1)=e-1,所以a∈(-∞,e-1].
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