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时间:2019-05-24
《浙江省2019高考数学精准提分练解答题通关练3数列》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.数 列1.在等差数列{an}中,a1=-2,a12=20.(1)求数列{an}的通项an;(2)若bn=,求数列{3bn}的前n项和Sn.解 (1)因为an=-2+(n-1)d,所以a12=-2+11d=20,于是d=2,所以an=2n-4(n∈N*).(2)因为an=2n-4,所以a1+a2+…+an==n(n-3),于是bn==n-3,令cn=,则cn=3n-3,显然数列{cn}是等比数列,且c1=3-2,公比q=3,所以数列{3bn}的前n项和Sn==(n∈N*).2.已知数列{an}满足a1=,=+2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:a+a
2、+a+…+a<.(1)解 由条件可知数列为等差数列,且首项为2,公差为2,所以=2+(n-1)×2=2n,故an=(n∈N*).(2)证明 依题意可知a=2=·<··=,n≥2,n∈N*.又因为a=,所以a+a+a+…+a<=<×2=.故a+a+a+…+a<.3.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S9=81.记bn=[log5an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[log516]=1.(1)求b1,b14,b61;(2)求数列{bn}的前200项和.解 (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知S9=81,根据等差数列的性质可知,S9=9
3、a5=9(a1+4d)=81,∴a1+4d=9.∵a1=1,∴d=2,∴an=2n-1,∴b1=[log51]=0,b14=[log527]=2,b61=[log5121]=2.(2)当1≤n≤2时,1≤an≤3(an∈N*),bn=[log5an]=0,共2项;当3≤n≤12时,5≤an≤23,bn=[log5an]=1,共10项;当13≤n≤62时,25≤an≤123,bn=[log5an]=2,共50项;当63≤n≤200时,125≤an≤399,bn=[log5an]=3,共138项.∴数列{bn}的前200项和为2×0+10×1+50×2+138×3=524.4.已
4、知数列{an}满足a1=1,Sn=2an+1,其中Sn为{an}的前n项和(n∈N*).(1)求S1,S2及数列{Sn}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=,且{bn}的前n项和为Tn,求证:当n≥2时,≤
5、Tn
6、≤.(1)解 数列{an}满足Sn=2an+1,则Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),即3Sn=2Sn+1,所以=,所以S2=,S1=a1=1,即数列{Sn}是以1为首项,以为公比的等比数列.所以Sn=n-1(n∈N*).(2)证明 在数列{bn}中,bn==-1×,{bn}的前n项和的绝对值
7、Tn
8、==,而当n≥2时,1-≤≤=,即≤
9、Tn
10、≤.5.设数
11、列{an}满足a1=a,an+1=(a>0且a≠1,n∈N*).(1)证明:当n≥2时,anb.证明 (1)由an+1=知,an与a1的符号相同,而a1=a>0,所以an>0,所以an+1=≤1,当且仅当an=1时,an+1=1,下面用数学归纳法证明:①因为a>0且a≠1,所以a2<1,=>1,即有a21,即ak+112、若ak≥b,则由(1)知当k≥2时,1>ak+1>ak≥b;若aka2k-1>a2k-1=a2k-1≥a2.因为k≥+1,所以(k-1)+1≥+1=,所以ak+1>b.6.已知数列{an}满足a1=2,点(an,an+1)在直线y=3x+2上.数列{bn}满足b1=2,=++…+.(1)求b2的值;(2)求证数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(3)求证:2-≤…<.(1)解 由已13、知得a2=3a1+2=8,所以=,=,解得b2=4.(2)解 由条件得an+1=3an+2,则==3,所以数列{an+1}是以3为公比的等比数列.an+1=(a1+1)·3n-1=3n,所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.(3)证明 由题设=++…+,①知=++…+(n≥2),②①-②得-=,则=,即=(n≥2).当n=1时,2-=,1+=<,所以原不等式成立;当n≥2时,…=··…·=···…··(1+bn)=××·…··(1+bn)=×·(1+bn)=3=3=3,先证明不等式左边,因为=>,
12、若ak≥b,则由(1)知当k≥2时,1>ak+1>ak≥b;若aka2k-1>a2k-1=a2k-1≥a2.因为k≥+1,所以(k-1)+1≥+1=,所以ak+1>b.6.已知数列{an}满足a1=2,点(an,an+1)在直线y=3x+2上.数列{bn}满足b1=2,=++…+.(1)求b2的值;(2)求证数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;(3)求证:2-≤…<.(1)解 由已
13、知得a2=3a1+2=8,所以=,=,解得b2=4.(2)解 由条件得an+1=3an+2,则==3,所以数列{an+1}是以3为公比的等比数列.an+1=(a1+1)·3n-1=3n,所以数列{an}的通项公式为an=3n-1.(3)证明 由题设=++…+,①知=++…+(n≥2),②①-②得-=,则=,即=(n≥2).当n=1时,2-=,1+=<,所以原不等式成立;当n≥2时,…=··…·=···…··(1+bn)=××·…··(1+bn)=×·(1+bn)=3=3=3,先证明不等式左边,因为=>,
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