挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的相似三角形问题（含2013试题，含详解）

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1、第一部分函数图象中点的存在性问题因动点产生的相似三角形问题例12013年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．[w#ww.zz@s^te%p~.com]图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况

2、，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。[来@源:#*中教^网~]思路点拨[来源&%:zz^ste~p.c@om]1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．[www.*@^z~zstep.c#om]3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△

3、AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．[来^源@:~中教&#网]在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝．所以A．因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设y＝ax(x－2)，代入点A，可得．图2所以抛物线的表达式为．（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为．所以．所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A、B(2,0)、M，得，，．所以∠ABO＝30°，．因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况

4、：①如图3，当时，．此时C(4,0)．[来*源%:z#zstep&.co^m]②如图4，当时，．此时C(8,0)．图3图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．[来%源:中教~#&网^]图5[来@源:^中国教~%育出版#网][中~^#国教育出版网&%]例22012年苏州市中考第29题[ww*w.z~z#st%ep.com@][来

5、源:Z#xx#k.Com]如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；[来源#@:中%教&^网]（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意

6、两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．[来#源:@中%国教*育出~版网]图1动感体验[来源:学

7、科

8、网Z

9、X

10、X

11、K]请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻．[www.z@z^ste%#p.com~]思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC

12、暗示了点P到两坐标轴的距离相等．2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上．满分解答（1）B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．[www.z#z%&step*@.com]因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PC

13、O＋S△PBO＝＝2b．[来源:^*中&%教网@]解得．所以点P的坐标为()．图2图3[来@&*源:^中教~网]（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．[来源:%@中~&教*网]②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△B