挑战2014数学中考压轴题：因动点产生的等腰三角形问题（含2013试题，含详解）

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1、因动点产生的等腰三角形问题[w#ww.z&zste^p.co@m~]例12013年上海市虹口区中考模拟第25题[来源^:*&中教%网~]如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图[来源~:中%@教#网&]动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖

2、动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种情况．[中#国~教育@*出%版网]2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三

3、角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．[中国教育&出*^@版网%]满分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．[来源~%:zzs#t*ep.co&m]（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．[w~^%ww#.zz*step.com]因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．[来~源^:中国%教育&*出版网]图2图3图4

4、①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．[来@~^源%:中*教网]由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．[来^@源:zzstep&.com#%]因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时．所以．[来@源#:^中国教育&出版~

5、网]②如图6，当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．[ww#w.zzs*tep.com~@^][来源:zzs&#tep%@.*com][来源:学

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10、K][来^@源:zz#step&%.com][中国~@*教#育出&版网]例22012年扬州市中考第

11、27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察

12、△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．[来源^:中~#&教网*]思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的

13、函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考点伸展第