2016挑战中考数学压轴题因动点产生的面积问题

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1、因动点产生的面积问题例12015年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0,6)、(－4,0)，联结PD、PE、DE．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积

2、为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“15河南23”，拖动点P在A、C两点间的抛物线上运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，“使△PDE的面积为整数”的点P共有11个．思路点拨1．第（2）题通过计算进行说理．设点P的坐标，用两点间的距离公式表示PD、PF的长．2．第（3）题用第（2）题的结论，把△PDE的周长最小值转化为求PE＋PF的最小值．满分解

3、答（1）抛物线的解析式为．（2）小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．而FD2＝，所以FD＝．因此PD－PF＝2为定值．（3）“好点”共有11个．在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小（如图2）．此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．所以△PDE周长最小时，“好点”P的坐标为(－4,6)．图2图3考点伸展第（3）题的11个“好点

4、”是这样求的：如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因为S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S＝12时，方程的两个解－8,－4都在－8≤x≤0范围内．所以“使△PDE的面积为整数”的“好点”P共有11个．图4例22014年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于A(

5、－2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14昆明23”，拖动点P从A向B运动，可以体验到，当P运动

6、到AB的中点时，△PBQ的面积最大．双击按钮“△PBQ面积最大”，再拖动点K在BC下方的抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，有两个时刻面积比为2.5．思路点拨1．△PBQ的面积可以表示为t的二次函数，求二次函数的最小值．2．△PBQ与△PBC是同高三角形，△PBC与△CBK是同底三角形，把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．所以－8a＝－3．解得．所以抛物线的解析式为．（2）如图2，过点Q作QH⊥

7、x轴，垂足为H．在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。（3）当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1,0)，BQ＝1。如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。如

8、图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．图2图3图4考点伸展第（3）题也可以这样思考：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．如图5，过点K作