某些周期函数的最小正周期

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第19卷第4期湖北民族学院学报(自然科学版)v0l19No．42001年11月Journal。fH1】beiIn~fmt~forNatiotmlifes(Nat．Sci1Nov．2001文章编号：1008—8423【．2001)04—0041—04某些周期函数的最小正周期熊昌萍(湖北民族学院计算机与数学系，湖北恩施445000)摘要：给出了一十利用福里哀系数，计算无第二类不连续点的非常值罔期函数的最小正周期的一般方法关键词：最小正罔期；福里哀系数；第二类不连续点中图分娄号：0173文献标识码

2、：A对于非常值的连续周期函数，文[1]中给出了求其最小正周期的一般方法，但非连续函数的情况比较复杂，然而对于某些特殊的函数类可进行讨论本文主要讨论无第二类不连续点的周期函数的最小正周期．为方便起见，以下总假设，()是以21(2>0)为周期的无第二类不连续点的函数，且记D(f)={∈R：为f的不连续点l，，在D(，)上的限制记为ftD(，显然ftD∽是D(，)上以2￡为周期的函数，给出如下记号：E(，)={t∈R：t>0且为，l州门的周期}；I(，)=infE(f)，，()=号(，(+O)+_，(一0))其中，(+0)=1Lmf(z)，，(

3、X一0)=1Lm_厂(z)．p’r一引理1设，()是以2l(>O)为周期的函数且无第二类不连续点，则(1)在[0，2z]上可积；(2)D(力￡D(f)R，无第二类不连续点．证明(1)先证，()在[O，2z]J：Ng．事实上，对任意的X0∈[0，21]，因，(+0)与_厂(0—0)均存在，于是存在8>0，使得：，()在(0一，0+)内有界．再由有限覆盖定理即可证，()在[0，21]上有界，由文。。[2]的系1知：_厂()在[0，2／]上可积．(2)任取知∈R，有，(+0)=lIm{(，(+0)+，(—o))=，(+0)；’。f(XO一0)=

4、lim告(，(+0)+f(一0))=f(一0)．．故，()无第二类不连续点，又若XOiD(，)，则0为，()的连续点，即有，(o+o)+，(0一O)=，(0)，于是有fl0)=_=}(，(0+0)+，(如一0))：，(0+0)=0+0)．同理可证氕D)=0-o)，故A)在知点连续，即知D(，故D(力D)．设，()是以2t(t>0)为周期的无第二类不连续点的函数，记其21为周期时的福里裒系数为：a={，(x)cos华d，k=0，1，2，⋯；b=1f，()in华d，k：I，2，3，⋯；记F(f，)={∈N：+巩≠O；，如果F(f，2)≠，用M

5、(f，z)表示r(f，z)的最大公约数，记s(，，2，)：ao+毒(a一字+b)收蒋日期：2001—06—12基金项目：镧北省自然科学基金(99】17O)；镧北省委高校重点科研基金贤助项目(98A0~9)作者简介：熊昌萍(1962一)，女．湖北恩施^，副教授，主要从事基础数学研究．维普资讯http://www.cqvip.com湖北民旗学院学报(自然科学版)第l9卷(，，2，)=(s0(，，l,x)+s_(，，，)+警+蓦—a-k(a+b廊)r．Ⅱ．Fo~cms在文[3]中给出了，如下定理定理1设_厂()是以2为周期的绝对可积函数(即l)

6、l在[O，2]上可积)，则对f的每个连续点或第一类不连续点，有liras(／，，)=-=}(，(+0)+，(一0))=，()特别地，当_厂()无第二类不连续点时，结合引理1可得如下结果．推论设f()是以2为周期的函数且无第二类不连续点，则：氕)=lira(_厂，，)，v∈R．引理2设，()是以2／(>0)为周期的无第二类不连续点的函数，若F(f，)≠0，则I(_厂)>0．证明因为)无第二类不连续点，所以f(x)只含第一类不连续点，由文[2]中的系1知：D(f)为至多可列集，于是，()的连续点在R上稠密，若F(f，Z)≠0，所以至少存在两个

7、点0，【∈R、D(f)，0<1，使得f(x0)≠，()，(若不然，则flD(门为常值函数，注意到D(，)为至多可列集，于是对任意的∈N，f(x)以21为周期时的福里哀系数时a=0，=O，这与F(f，z)≠0矛盾)，不妨设，(XO)<，(1)，注意到，()在。，【点连续，所以存在0<占<，当I一0l<8时，有：If()一。)l<，(1)当l一1l<占时，有：’If()一)I<．(2)下证I(f)>01若[0—8，。+8]nD(f)=0，显然I(_厂)>28．2若[0一占，知+占]ND(f)≠，取y∈[。一8，。+8]nD(f)，下证E(_厂

8、)n[O，8]=0，若不然，则存在f∈E(，)，0<≤占，取mEN，使得Y+m∈(l一占，】+占)，从而f(y)=，(Y+m￡)，注意到∈(。一8，0+占)，又+m∈(一8，+8)，由(1)与