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1、第25卷第1期北京工商大学学报(自然科学版)Vol25No1682007年1月JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2007文章编号:1671-1513(2007)01-0068-06周期函数及其最小正周期侯文超(北京工商大学,北京100037)摘要:研究了周期函数及其最小正周期的若干问题.全文分为三部份:第一部份是关于最小正周期的一般理论,得到了周期函数有最小正周期的充分必要条件,也获得了至少在一个点连续且不恒等于常数的周期函数必有最小正周期的
2、结论;第二部份分析了两个周期函数之和的最小正周期的问题,给出了其一般表达式;第三部份讨论了周期函数与某些类型的非周期函数构成的复合函数的非周期性问题,并得出相应结论.关键词:周期;最小正周期;公度;连续中图分类号:O171文献标识码:A本文分为三部分:第一部分研究周期函数及其T1T1m有理数.反之,若为有理数,设=,其中m,最小正周期的一般理论;第二部分探求两个周期函T2T2nT1T2数之和的最小正周期;第三部分讨论有关复合函数n为整数,m与T1同号,n与T2同号,令==mn的非周期性问题.D,则T1=mD,T2=nD,于是T1,T2可公度.为行文方便,
3、本文中所说的周期函数都是定义引理2若T1,T2都是函数f(x)的周期,则在全体实数范围内,但各结果不难推广到定义域不它们任意的整系数非零线性组合T=mT1+nT2是全体实数的情形.(m,n为整数,T0)也是函数f(x)的周期.证明f(x+mT1+nT2)=f(x+mT1)=1一般理论f(x).定理1设T1,T2为函数f(x)的两个可公度为方便起见,对两个实数(即使不是整数)我们的正周期,D为其一公度,T1=mD,T2=nD,d=也使用整除这个术语.(m,n)为m,n的最大公约数,则T0=dD也是定义1设a,b为两个实数(b0),如果存在f(x)的正周期.
4、整数m,使得a=bm,则称a可被b整除,或b整证明由初等数论知存在整数x,y,满足xm+除a,并记作b
5、a.yn=d,则有dD=xmD+ynD=xT1+yT2.由引定义2设T1,T2为两个非零实数.如果存在理2,dD也是f(x)的正周期.正实数D,D
6、T1,D
7、T2,则称T1,T2可公度,D为推论设T1,T2为函数f(x)的两个可公度的其一个公度;否则,称为不可公度.正周期,则存在它们的一个公度D,D也是f(x)的引理1两个非零实数T1,T2可公度的充分正周期.T1必要条件为为有理数.实际上,定理1中的T0就可以取作这里的D.T28证明若T1,T2可公度,则
8、存在正实数D及例如,对于函数f(x)=sin3x,T1=与T2=3T1m整数m,n,使得T1=mD,T2=nD,于是=为4皆为其周期,取T1,T2的公度D=,定理1中T2n3收稿日期:20061015作者简介:侯文超(1937-),男,辽宁开原人,教授,主要从事经济预测和管理决策的教学与研究.第25卷第1期侯文超:周期函数及其最小正周期694而它却没有最小正周期.的m=8,n=12,d=4,于是T0=dD=也是3定理3设T0是周期函数f(x)的最小正周f(x)的正周期.期,非零实数T是f(x)的周期的充分必要条件为由本例可以看出,定理
9、1中的T0=dD不一定T0
10、T.是最小正周期.证明充分性显然,现证必要性.设非零实数即使周期函数不恒等于常数,也可能有不可公T是f(x)的一个周期,不失一般性,无妨设T>0.度的正周期.例如,设A={m+n2
11、m,n皆为整由推论知T,T0是可公度的.再由定理1的推论,数}.定义函数存在T与T0的公度D,D也是f(x)的正周期.显1当xA时f(x)=(1)然,DT0,而T0是最小正周期,故亦有T0D,0当x/A时,于是T0=D,这就表明T0
12、T.集合A中所有非零元素都是f(x)的周期.特别地,怎样的周期函数有最小正周期呢?1与2都是f(x)的周期,它们是不可公
13、度的.定理4周期函数有最小正周期的充分必要条定理2若周期函数f(x)有两个不可公度的件是不存在趋向于0的正周期序列.周期,则存在f(x)的一串正周期t1,t2,,满足证明必要性是明显的.现证充分性.设周期t1>t2,>,并且当n时tn0.函数f(x)没有最小正周期,记T=inf{所有正周证明设T1,T2为函数f(x)的两个周期,它期},T必不是f(x)的周期.于是存在一串f(x)的们不可公度.不妨设T1>T2>0,取t1=T1,t2=正周期T1,T2,,Tn,,使得T1>T2>>T2,更设Tn>,且n时TnT.令Tn
