周期函数最小正周期存在性及其应用论

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1、中学代数研究期末论文周期函数最小正周期存在性及其应用学生姓名：陈益梅学号：105012011053学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2011班级：双师一班指导老师：潘飚周期函数最小正周期存在性及其应用陈益梅（2011级双师一班）摘要：对周期函数的最小正周期存在的条件及性质进行了探讨，也给出了说明结果的一些例子，并总结了些求最小正周期的方法。关键词：周期函数；最小正周期；狄利克雷函数；最小正周期的求法一、引言我们都知道一些周期函数在定义域上存在最小正周期，如sinx，cosx，tanx等。但也有些周期函数并无最小正周期，例如常值函数、狄利克雷函数等。那么，什么样的周期函数一

2、定存在最小正周期？二、基本概念定义：若函数f(x)为M上的周期函数，T称为函数f(x)的一个周期，如果在所有周期中存在一个最小正数T’，那么T’叫做f(x)的最小正周期或基本周期。三、最小正周期存在的条件定理1定义域上的非常值的连续周期函数一定有最小正周期。(反证法)假定f(x)为连续周期函数，若f(x)不存在最小正周期，则f(x)为常数函数。记u=imfS,若u属于周期集合S,则与假设相反。若,则存在,使得,所以f(x+)=f(x+).又f(x)连续，所以f(x+)=f((x+))=f(x)=f(x+).综上所述，=0。对定义域上任意的x1,x2，f(x)在x2处连续，即a>0,>0,使

3、得当

4、x-x2

5、<时，有

6、f(x)-f(x2)

7、

8、x1+nr-x2

9、<,此时有

10、f(x1)-f(x2)

11、=

12、f(x1+nr)-f(x2)

13、

14、f(x1)-f(x2)

15、

16、义域M上的非常值周期函数，若f(x)在M上至少有一个连续点，则f(x)必有最小正周期。证明：（用反证法）由于f(x)不是常数，所以存在点y小于连续点x1,使f(x1)f(y),记en=,假设f(x)没有最小正周期，那么，对每一个en有周期rn,适合0x1(当n趋于无穷大时)，根据f(x)在点x1处的连续性，有f(xn)->f(x1)。从而f(x1)=f(y),与假设相矛盾，这就证明了f(x)有最小正周期。(假设x1

17、正周期)推论：非常值的周期函数如果没有最小正周期，则此函数必是处处不连续的函数。反之，在处处不连续的非常值周期函数类中，也常常包含具有最小正周期的周期函数。例1设有函数f(x)，对于任意的n属于整数，当2n≤x<2n+l时，若x是无理数，f(x)=1；若x是有理数，f(x)=-1.当2n+l≤x<2(n+1)时，若x是无理数，f(x)=2；若x是有理数，f(x)=-1.此函数是一个处处不连续的函数，但有最小正周期T=2.总结：通过以上讨论，我们得出连续性只能是最小正周期存在的充分条件，而非必要条件．即存在最小正周期的函数可能连续、部分连续或处处不连续。定理4[3]若T1，T2是函数f(x)

18、的两个周期，且为无理数，则f(x)不存在最小正周期。然而狄利克雷函数以任何非零有理数为周期，但由于有理数中无最小正数，故D(x)无最小正周期。从此例可看出任意两个周期之比皆为有理数，但它没有最小正周期，这说明定理4的逆定理不成立。四、最小正周期的应用及性质1若t是函数的一个周期，n为非零整数，则nt并不一定能包含函数的所有周期，但当t为函数的最小正周期时，nt就能包括函数的所有周期。证明：记函数f所有周期构成的集合为S，对任意的T属于集合S，有T=nt+r,其中0=

19、周期的可积周期函数,则对任意自然数K,在区间[0，2L]上和在区间[0，K*2L]上计算f的傅里叶级数结果相同。2复合函数的最小正周期：(1)如果f(u)是定义在集合M上的函数，而u=g(x)是定义在集合N上的周期函数，且最小正周期为T，当xN时，g(x)M，那么复合函数f[g(x)]是集合N上的周期函数。但最小正周期不一定还是T。例2g(x)=sinx,f(x)=c,则f[g(x)]=c,此时无最小正周期。例3g(x)