1.1　正弦定理

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1、1.1　正弦定理江苏省南通市天星湖中学成倩文教学目标：1.掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3.提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．教学重点：正弦定理及其证明过程．教学难点：正弦定理的推导和证明．教学过程：一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题

2、，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．探索1　我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt中，设，那么边角之间有哪些关系？，，，，，，，,,……探索2　在Rt中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？6二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立．学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．图1三、建构数学探索3　这个结论

3、对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下证法．证法一　若为锐角（图2（1）），过点作于，此时有,，所以,即．同理可得,所以．6（1）　　　　　　图2　　　　　　　（2）若为钝角（图2（2）），过点作，交的延长线于，此时有，且，同理可得．综上可得，结论成立．证法二　利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、、，则，，．所以==，每项同时除以，得探索4　充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不

4、同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有，设为最大角，过点作于，（图3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，．故可得，即．同理可得．因此．这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理．bacBDAC图3探索5　这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？6三个式子：，，．每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个．正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一

5、边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．四、数学运用例题在中：（1）已知，，，求，，；（2）已知，，，求，，；（3）已知，，，解这个三角形．解　（1）由正弦定理得，即，因此　　所以　　，或．由于　　故　　　也符合要求，从而本题有两个解或．　　　①当时，，．　　　②当时，6．（2）由正弦定理得，即所以,或．由于，故不符合要求，从而本题只有一解，．（3）由正弦定理得，所以无解．学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？五、巩固练习：1.（口答

6、）一个三角形的两角和边分别是和，若角所对边的长为8，那么角所对边的长是.2.(板演)在中：（1）已知，求，；（2）已知，求，．3.（板演）根据下列条件解三角形：（1），，（2），，六、回顾小结6本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理．正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称．它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中的两角与任意一边，可求出其他的边和角；已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两个元素，可研究出另外两个元素的关系．七、课外作业课本P11习题1.1第

7、1，2题．6