m次积分半群的稳定性及相应柯西问题的强解

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1、贵州大学硕士学位论文m次积分半群的稳定性及相应柯西问题的强解姓名：龙飞申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：项筱玲20011201m次积分半群的稳定性及柯西问题的强解龙飞(贵州大学数学系，贵州贵阳550025)摘要：对于主算子是m次积分半群的无穷小生成元的一类发展方程，本文引入了温和解的概念，并讨论了温和解和古典解的关系。利用温和解的结果，本文研究了m次积分半群的指数稳定性，并获得了两个充要条件。其次，本文研究了一类非齐次线性微分方程的强解，并得到了一系列判定强解存在的充分条件或充要条件；最后，给出了一个实例来验证本文的抽象结果。关键词：m次积

2、分半群，无穷小生成元，指数稳定性，强解，温和解，存在性。中图分类号：0175．13，0175．15。l、引言随着对半群理论及应用的深入探讨，积分半群作为C。一半群的一种推广，在二十世纪八十年代中期被提出。FrankNeubrander[2]，HermannKellerman署ⅡMatthiasHieber[6]，HorstR．Thieme[3]及N．u．Ahmed[1，4]等进一步扩展了积分半群的理论及应用。在处理不满足Hille—Yosida条件的算子作为主算子的抽象柯西问题时，该理论是一种非常有力的工具。FrankNeubrander在文献[2

3、]中用该理论解决了主算子为一次积分半群的无穷小生成元的齐次柯西问题的古典解的存在性问题。H．R．Thieme在文献[3]中就同～问题讨论了它的积分解的存在性。HermannKellerman和MatthiasHieber在文献[6]中研究了主算子为一次积分半群的无穷小生成元的非齐次柯西问题解的存在性。对于主算子为m次积分半群的无穷小生成元的～类柯西问题，N．U．Ahmed在文献[1，4]中引入了它的古典解和广义解，并讨论了它们的存在性。本文主要研究了m次积分半群的指数稳定性和相应非齐次柯西问题强解的存在性问题。在第三节，我们首先给出了关于m次积分半

4、群的一些重要性质，其次，对于主算子为m次积分半群的无穷小生成元的齐次柯西问题，我们引进了它的温和解(是文献[3]中引入的积分解的一种推广)，并讨论了m积分半群的指数稳定性，得到了两个指数稳定的充要条件。在第四节，对于主算子为m次积分半群的无穷小生成元的非齐次柯西问题，我们引进了在应用中极为重要的一类广义解——强解，并讨论了它的存在性，给出了若干判定强解存在的充分条件或充要条件，在第五节，给出一个例子来验证本文所获得的抽象结果。2、m次积分半群设(x，¨．‰)是任一Banach空间。L(x)表示空间X上的有界线性算子的全体，在L(x)上赋予算子范数后

5、构成了一个Banach空间。C(【O，+∞)，x)表示定义在[0，+。o)上，取值于X的强连续函数全体。C”([0，+o。)，x)2{x(‘)∈C([O，+。。)，z)；(d“／dt“)x(·)∈C([0，+。。)，X)，nE{1，2，⋯，m))。设A是x上的线性闭算子，定义图象范数

6、

7、yfI。，=

8、

9、yIIⅣ+Il彳yllx+II一2yIlⅣ+⋯+II爿“yII。，y∈D(爿”)，贝0空间(D(∥)，¨㈨是一个Banach空间。众所周知，若X为非自反的Banach空间，则定义在x上的c。、半群{T(t)：t≥0)的共轭半群F·(，)-f≥o)一般

10、不是c。．半群。这里，口·(，)；f≥o)仅保持弱★连续性。对于共轭柯西问题P4／出=4+x4(‘)，‘>o(2．1)Ix幸(o)=z半它有唯一的温和解x+(f)=丁t(f)z+，f≥O。同样函数卜》x+(f)也只是弱六连续的。我们都知道，即使柯西问题(2．1)有解，但爿。一般在X+中是不稠定的。故爿·不满足Hille-Yosida定理。因此，对柯西问题中主算子的稠定假设并不影响解的存在性。而且在Hille—Yosida定理中必须要求主算子的预解式R(九，A)，旯∈p(彳)是Laplace变换，即存在一个强连续算子函数S(t)，使得R(入，A)=r

11、e“s(f)衍．下面引入的m(m∈Ⅳo)次积分半群将克服以上的两个局限性(算子A不一定要求是稠定；其预解式R(^，A)并不要求是Laplace变换)。首先，我们给出m次积分半群的概念。定义2．1：算子值函数S(·)：[o，佃)一三(x)是m次积分半群，若a)s(0)=I(单位算子)，m=0：S(0)=O(零算子)，m>O：b)S(t)关于t是强连续的：c)对于任意的t，r≥0，有S(t)S(r)=S(t+r)，m=0；s(t)s(r)2石i兰i豇no一目)”1s(r+口)一o+r一口)”。1s(臼)]dp，m>。定义空间E-，m≥0如下：Eo=X：

12、E。：&∈x；s(．扛∈c⋯([o，+∞)，x)}则S(t)：E。一E。，m≥O(2．2)(见[3]第417页)。记S“’