复变函数的积分柯西定理

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1、第三章复变函数的积分第一节复变函数积分的概念教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变函数积分的基本性质、柯西积分定理.教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学过程：一、复变函数的积分的定义定义3.1设在复平面上有一条连接及两点的光滑简单曲线设是在上的连续函数.其中及是的实部及虚部.把曲线用分点分成个小弧段，其中yOx23在每个狐段上任取一点，作和式（1）令，当时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于的选择，也不依赖于曲线的分法，则就称此极

2、限值为沿曲线的积分.记作当沿曲线的负方向（从到）积分，记作当沿闭曲线的积分，记作定理3.1若沿光滑简单曲线连续，则沿可积，且（2）证明：由沿光滑简单曲线连续，可知沿光滑简单曲线也连续，当时，有23于是上式右端的极限存在，且有二、复变函数积分的计算设有光滑曲线:,即在上连续且有不为零的导数.又设沿连续.由公式(2)我们有即(3)或(4)用公式(3)或(4)计算复变函数的积分,是从积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.注：当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论.例1计算，其中是（1）从点1到的直线段；（2）从点1到0的直线段，再从点0到得直线段所连

3、接成的折线段.解：（1），有：23（2），有：例2计算其中是(1)连接的直线段；(2)连接的单位圆的左半圆(3)连接的单位圆的右半圆解：上述二例说明：复变函数的积分与积分路径有关例3，其中为任意整数，为以为中心，为半径的圆周.23解的参数方程为，由公式得此例的结果很重要，以后经常要用到.以上结果与积分路径圆周的中心和半径没有关系，应记住这一特点.例4计算，其中为从原点到点的直线段.解：此直线方程可写作或.在上，，于是.因易验证，右边两个线积分都与路线无关，所以的值，不论是对怎样的连接原点到的曲线，都等于.例5设是圆，其中是一个复数，是一个正数，则按逆时针方

4、向所取的积分23证明：令，于是，从而三、复变函数积分的基本性质设及在简单曲线上连续，则有（1）（2）（3）其中曲线是有光滑的曲线连接而成；（4）定理3.2（积分估值）如果在曲线上，，而是曲线的长度，其中及都是有限的正数，那么有，（5）证明：因为两边取极限即可得：例6试证：证:不妨设，我们用估值不等式（523）式估计积分的模，因为在上，上式右端当时极限为0，故左端极限也为0，所以第二节柯西积分定理教学内容：柯西积分定理.教学要求：会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念教学过程：下面讨论复变函数积分与路径无关问题定理3.3设是在单连通区域内

5、的解析函数，则在内沿任意一条闭曲线的积分,在这里沿的积分是按反时针方向取的.此定理是1825年Cauchy给出的.1851年Riemann在连续的假设下给出了简单证明如下证明：已知在单连通区域内解析，所以存在，设在区域内连续，可知、的一阶偏导数在区域内连续，23有注1:此定理证明假设“在区域内连续”，失去定理的真实性，法国数学家古萨（E.Goursat）在1900年给出了真实证明，但比较麻烦.注2:若是区域的边界，在单连通区域内解析，在上连续，则定理仍成立.定理3.4若是在单连通区域内的解析函数，、是在内连接及z两点的任意两条简单曲线，则证明：由柯西积分定

6、理将柯西积分定理推广到多连通区域上定理3.5（复合围线积分定理）设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域，及其边界构成一个闭区域.设f(z)在上解析，那么令表示的全部边界，我们有其中积分是沿按关于区域的正向取的.即沿按逆时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C23按所选定取积分的方向一同运动时，区域总在它的左侧.因此即例7计算,其中是包含0与1、-1的简单闭曲线.解：作互不相交的互不包含的三个小圆周分别包含0，1，-1，且都在内，应用复合围线积分定理，有23由柯西积分定理可知：若

7、是在单连通区域内的解析函数，则沿着区域内的简单闭曲线的积分与路径无关，只与起点及终点有关，此时也可写成在单连通区域内固定，当在区域内变动时，确定了上限的一个函数，记作定理3.6设是单连通区域的解析函数，则也是区域内的解析函数，且证明：，得与路径无关，则=23其中积分路径取到得直线段，有因在内连续，，有即定义3.2设在是单连通区域内，有，则称是的原函数.定理3.7若是在单连通区域内的解析函数，是的一个原函数.则-其中注3:此定理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广.例

8、8(重要积分))试证明:这里表示绕行一周的简单闭曲线.证明:作圆周