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1、第四章级数第一节复级数教学内容：复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性.教学要求：1、正确理解条件收敛与绝对收敛2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和性质.3、正确掌握幂级数和函数的解析性教学过程一、复数序列的极限设为一复数序列，其中按照是有界或无界序列，来定义为有界或无界序列.设是一个复常数.如果任给，可以找到一个正数，使得当时，有,那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作.如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列.定理4.1设，则的充分必要条
2、件是证明：由下列不等式可知，因此，有下面的注解：注1：复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，注2：利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差、积、商.二、复数项级数及其敛散性设为一复数序列，表达式称为复数项级数.记作，其部分和序列为：如果序列收敛，那么就称级数收敛；如果，那么说的和是，或者说收敛于，记作，如果序列发散，那么就称级数发散.例1当时，判断级数是否收敛？解：部分和当时，有，从而有所以，这就是说，当时，级数收敛，其和为，即当时定理4.2设，则级数收敛的充分必要条件是与都收敛
3、.定理4.3级数收敛的必要条件是证明：因为级数收敛的充分必要条件是与都收敛，，再由实级数与收敛的必要条件是定理4.4若级数收敛，则级数也收敛.定义4.1若级数收敛,则称绝对收敛.非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛.例2判别下列级数的收敛性（1）（2）（3）解：（1）发散（2）条件收敛（3）绝对收敛注3：关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，如：柯西收敛原理（复数项级数）：级数收敛必要与充分条件是：任给，可以找到一个正数，使得当时，对任意正整数，有三、复变函数项级数设在复平面区域内有定义,称其为复变函数序列,记为.称表达式（1）为区域内的复变
4、函数项级数.其前项和称为（1）的部分和.若对点,，则称在点收敛于,称在区域内收敛于.也称为级数的和函数例3在区域内，函数项级数收敛于，即定义:若"e>0,$N>0,当n>N时,对一切zÎE,有则称在E上一致收敛于.一致收敛的Cauchy收敛准则在E上一致收敛当且仅当"e>0,$N>0,当n>N时,对一切pÎN,一切zÎE,有
5、
6、7、
8、£an,n=1,2,¼,zÎE.则在E上一致收敛.级数的和函数有如下性质：连续性设在复平面点集E上连续,并且在E上一致收敛于,则在E上连续.可积性设在简单曲线C上连续,并且级数在C上一致收敛于,则
9、内闭一致收敛设函数在复平面上区域D内解析,如果在D内的在一有界闭区域上一致收敛,则称在D中内闭一致收敛.魏尔斯特拉定理设函数在区域D内解析,并且在D内内闭一致收敛于.则（1）在D内解析,并且在D内（2）(,p=1,2,¼)四、幂级数形如（1）的复变函数项级数称为幂级数,其中均为复数.显然，（1）在点收敛.首先研究幂级数的收敛性，有阿贝尔（Abel）定理：定理4.5如果幂级数在收敛，则幂级数（1）在圆域内绝对收敛.证明：设为圆域内任一点，因为幂级数在收敛，所以有，因此存在着有限常数，使得.则有由于级数收敛，所以此幂级数在满足的任何点z不仅收敛，而且绝对收敛.推论如果
10、幂级数在发散，那么对满足的任何它都发散.证明：用反证法，设为满足内任一点，若幂级数（1）在点收敛，则由阿贝尔（Abel）定理知收敛.与题设矛盾.因此满足的任何点幂级数都发散.证毕关于（1）的收敛性有下面三种情况：第一种对于任意幂级数都发散.第二种对于任意幂级数都收敛.第三种若存在一个复数，使得收敛，则由阿贝尔（Abel）定理，在内，绝对收敛.另外又存在一个复数，使得发散，则由阿贝尔（Abel）定理，对满足的任何，发散.在第三种情况下，可证明，存在一个有限正数,使得在圆周内绝对收敛，在圆周的外部发散.称为幂级数(1)的收敛半径;为收敛圆周.注4：第一种，约定，第二种
11、，约定注5：当时，在上，幂级数的敛散性不定.即幂级数(1)在收敛圆周上可能收敛,也可能发散.五、幂级数收敛半径的求法定理4.6给定幂级数（1）比值法：若，则幂级数的收敛半径；（2）根值法：若，则幂级数的收敛半径；（3）当时，；（4）当时，；例4求幂级数，，的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的情况.解：对于上面三个幂级数都有，所以它们的收敛半径都是，在收敛圆周上的情况如下：在上，因为，所以在上处处发散.在上，当时收敛，当时发散.在上处处绝对收敛，因而也是处处收敛.例5求幂级数的收敛半径解：，所以收敛半径都是.其收敛圆周，当时，幂级数收敛，当时，幂级数发散.六、幂级数
12、和函数的解
