柯西积分定理.docx

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1、柯西积分定理1.区域内解析，曲线上连续函数f(z)在单连通域D闭路变形原理-双连通复合闭路定理-多连通回顾复积分的定义、求算法则：公式，t代换，重要积分。原函数的概念，与实函数的变上限积分相似。2.区域内不解析，转化为求留数柯西积分公式应用：1.求积分值方法：（复合闭路定理与高阶求导公式）2.平均值公式最大模定理的两个推论:在区域D内解析的函数，如果它的模在D内部达到最大值，则此函数必恒为常数；函数在区域D内解析，在区域及边界上连续，则函数值的模在D边界取得最值；P683．在区域内解析，且可以推导出柯西不等式研究一阶导数，当R无穷大时，区域扩展为整个平面，右边的值极限为零

2、，函数一阶导数为零，函数为常数，从而有刘维尔定理级数部分:函数在单连通区域内处处解析时，函数需要避开奇点在环形区域作级数展开时①②解读：1.对于一般的复数项级数，转化成求实部和虚部极限的问题2.判断收敛性可以各项模的级数是否收敛3.看①右边，用系数比值或者根值极限来求收敛半径R；看左边，用z0到最近奇点的距离来作为半径R；4.怎么样将函数展开为泰勒级数，洛朗级数：1.定义法求高阶导数2.利用现成的重要级数代换3.对于洛朗级数，分类讨论，作倒数；留数部分:由不解析性定义奇点（孤立奇点），由级数展开项含负次幂的情况来定义：可去奇点（无负次幂项），极点（简单极点，m阶极点），本

3、性奇点（无穷多负次幂项）判断方法：1.级数展开，看负次幂项，直接判断，一般用于本性奇点的判断；例5.6P1062.函数极限在z0处存在，显然为可去极点；若能改写成条件，则有m阶极点定义；对，为的m阶零点，为的n阶零点，对于能写成则称是m阶零点定义留数为负一次项的系数：将复合闭路定理转换为留数定理留数的计算：1.2.提出无穷远点的留数概念：同时要注意：倒数代换，复数方法求积分：