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1、单摆的非线性动力学分析张亚兵（兰州交通大学车辆工程专业，甘肃兰州，730070）摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助李雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力Abstract:Thevibrationofsim
2、plependulumisstudiedbyanalyzingwhetherornotdampanddriveforceitsinfluenceofthesimplependulum.Forsmallanglependulummotion,pendulumdynamicequationfromthestart,withanapproximateLyapunovtheoryofstabilityofmotionisderivedpendulumsituation.Drawingtoolswithhelpfromm
3、atlab,smallangleandwide-anglependulummotionsimulation,bychangingtheparameters,suchasdampingsize,drivesizedrawsimplependulumofdifferentphasediagram,analysisandcomparisonofthephasediagram,fromtheverificationthestabilityofthesituationpendulummovement.Keywords:s
4、implependulum;vibration;damp;driveforce1引言单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至时,加速度取极小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运
5、动过程中的关系。图1单摆模型92单摆的线性情况2.1线性单摆的无阻尼振动如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：（1）因为（2）把（2）代入（1）式可得（3）将（3）两端同除以可得（4）令，其中为自然频率.则（4）可变为（5）当很小时,故有,（6）解此方程得:（7）若为实数,则有,即（8）所以,,（9）令,.则有（10）（11）从能量守恒方面考虑:可变形为（12）令，则有（13）两边同时乘以，得到（14）在对两边求积分，（15）9积分结果为（1
6、6）令(动能),(势能).则有,机械能守恒.为椭圆方程：9图2无阻尼单摆的相平面轨迹图3有阻尼和有驱动力单摆的运动分析有阻尼和有驱动力单摆的运动方程为(17)在任意大振幅下，方程(17)的解变得十分复杂，下面利用计算机模拟，分别讨论单摆运动随初值的变化和其混沌运动。3.1初值不同所产生的曲线为简单计，设，当t=0时，两振动初始条件相差极小，有(18)取，对(6)式在初始值(18)式下利用MATLAB绘图，其变化曲线如图4所示(其中实线为，虚线为)。9图3有阻尼和驱动力的图由图4可以看出，当时，两条曲线重合，两个
7、解不能分辨；但当时，两条曲线不再重合，两个解、完全不一样，这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应。3.2振幅不同所产生的相图为简单计，设方程(17)中，除驱动参数取变值外，其余参数不变，即。对(17)式在初始值式下利用MATLAB作计算模拟绘图，相图如图3所示。当时，振荡周期等于外加周期力的周期T，，应应单周期解，其相图如图4示。图4当时，，对应三倍周期解，其相图如图5示。9图5当周期强迫力的振幅达到某一临界值时，，系统运动出现混沌，其相图如图6示。图64无阻尼、无驱动力单摆的运动稳定性当单摆的阻尼因数为0
8、时，即当单摆既无驱动力又无阻尼时，单摆的运动方程为此线性系统的本征方程和本征值分别为本征值为纯虚根，线形方程的零解是为稳定的。将初值设定为：初始角度θ=1.8，角速度为0，此时的阻尼因数驱动力都为0，利用matlab，作出此时的单摆运动的相图为图8所示。9图7阻尼为0驱动力为0单摆的小摆角运动相图由图可知，无阻尼、无驱动力的单摆运动的相图是一个极限环。因此这种单摆的运动是稳定的。由此可
