非线性动力学

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1、第6章非线性动力学1046.非线性动力学6.1微分方程、向量场与动态系统6.1.1微分方程对于一个非线性振动系统2dydy+y+εFy,=02dtdt当ε=O(1)时，就不再是一个弱非线性系统。此时，我们引入x=yx=y&12从而将上述微分方程变换为如下标准形式x&=x12x&=−x−εF()x,x2112对于一般的动力学系统，通常由Lagrange方程d∂L∂L−=QL=L()t,q,q&dt∂q&∂qjjj或Hamilton正则方程∂Hq&=H=H()t,q,pj∂pj∂H

2、p&=−j∂qj所描述，同样可以对上述方程进行变换，因此，一个动力学系统可以由下列微分方程初值问题所描述，x&=f()t,xx(0)=x0其中nt∈Rx∈R第6章非线性动力学105一个动力学系统，从物理观点看，毫无疑问其描述方程是有解的，并且对于给定的初始条件，解是唯一的，而对于一般意义下的微分方程初值问题，即如果纯粹从数学上看，则微分方程必须满足一定的条件，才有方程解的存在性和唯一性。6.1.2向量场n考虑定义在n维Euclid空间R中的区域U上的1阶常微分方程组，nx&=f()xx∈U⊂Rt∈R其中f

3、不显含时间t，这种系统称为自治系统（AutonomousSystem）22显然，当x∈R时，f()x∈R是一向量，代表了动点在相平面上(x,x)处的速度，12沿着方程解轨线的切向。因此，我们可以在平面上每一点画出f的矢量方向，从而，对于给定的初值，从初始点开始，沿着矢量方向画出满足微分方程初值问题的解轨线。由于f(x,x)在整个平面有定义，因此，称f(x,x)是向量场。12126.1.3动态系统设φ(t)是微分方程初值问题x&=f()xx(0)=x0nt∈Rx∈R的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是

4、初值的函数，即解随着初值的改变而改变，可以将解记为φ()t,x0n当x0是R中的某一点时，φ(t,x0)代表了1条解轨线，而{}φ()t,xx∈D00则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即nnφ:R×R→R()t,xaφ(t,x)00显然映射φ成立：第6章非线性动力学106(1)φ()0,x=x00(2)φ()s+t,x=φ(s,φ(t,x))00nnn我们称φ是R上的一个动态系统，亦称为R上的一个流。直观地看，流是整个R上的一族轨线对于给定的t∈R，φ(t,x)可以看成是如下的一个偏映射：0tnnφ:

5、R→Rt()(xaφx=φt,x)000它满足：s+tst(1)φ=φoφ0(2)φ=It因此，φ构成一个群。6.2Poincaré映射与离散动态系统考察相空间中的轨线，如果我们在相空间中作一平面S，则轨线与平面S相交时的时间及交点构成一序列：()t,P,(t,P)(,t,P),L,(t,P),L001122nn构造一映射，使得P=φ()t,Pn+1nn这是一个离散映射，称为Poincaré映射，如满足群的条件，称为是一个离散的动态系统。显然，离散的动态系统是对连续动态系统进行离散化而得到。第6章非线性动

6、力学107图6-1Poincaré截面2离散动态系统的另一种描述是：对于位形空间(t,x)∈R×R中的一条轨线，将动点在tn时刻的位置P=(x,y)标在相平面上，从而得到一个离散的动态系统nnnP=φ()t,Pn+1nn该相平面（或平面S）称为Poincaré截面。6.3结构稳定性结构稳定性是指当动态系统受到扰动后变成另一个动态系统时，系统的拓扑结构保持不变的性质。例如，考察带参数的vanderPol方程，2dy2dy+()ay−1+y=02dtdt其中a代表了对系统的扰动。当a>0时，方程存在极限环；而

7、当a≤0时，则极限环不存在，解是发散的。因此，动态系统22φ:R×R→Ra在a∈R中拓扑结构相同，都有一个半稳定的极限环，因此是结构稳定的。+321-2-1123-1-2图6-2vanderPol方程极限环-3第6章非线性动力学1086.4解的最终行为我们通常对解的最终行为或最终趋势感兴趣，也就是希望研究动态系统当t→±∞时的运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状态体现了动态系统的本质

8、结构。微分方程解的最终形态通常有：(1)平衡点(2)周期解(3)拟周期解(4)混沌解6.4.1平衡点对于微分方程nx&=F()xx∈R如果存在x，成立F()x=0则x=x是微分方程的一个平凡解，亦称为是系统的一个平衡点。在相空间中，平衡点是一个不动点。当方程的初值在平衡点上时，则解始终在平衡点的位置上；而当初值在平衡点附近时，由初值问题解的存在性与唯一性，相空间中的解轨线或者远离平衡点，或者逼近平衡点，但不会通过平衡点。例1如