非线性动力学-胡海岩

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1、专业分享七、动态分叉1．平衡点的失稳动态分叉：指系统结构不稳定，即总有一个小扰动与该系统不是拓扑等价（或不拓扑共轭）。两种情况：平衡点是非双曲的——局部分叉；出现鞍点连接——全局分叉。常见动态分叉有：（1）鞍点分叉：，：无平衡点；：退化奇点；：两个鞍点；图1.鞍点分叉（2）Hopf分叉：，：原点为稳定平衡点；：出现稳定闭轨；图2.Hopf分叉（3）同宿分叉：，附近有鞍点和不稳定焦点；：出现同宿轨道；：出现闭轨；图3.同宿分叉Word可编辑资料专业分享（4）异宿分叉：，：有连接鞍点的异宿轨道；：出现分叉。图4.异宿分叉2．Hopf分叉对于单参数维自治系统，设平衡

2、点为，将其表示为（1）其中，其余个特征值具有负实部，并且已将其化到二维中心流形上，下面求中心流形上的PB范式。为此，引入线性变换将方程（1）化为（2）令则有（3）取近恒等的非线性变换简化二次项。（4）注意到，以及对于足够小的位移，则上式成为（5）可见，若成立，则二次项可以约去。为此，定义同调算子（6）它是一个线性映射。（1）二次项的简化记，根据式（6）得到Word可编辑资料专业分享因此，同调算子在该基下的矩阵为（7）对于充分小的参数，由于故满秩，其零空间是空集，因此，对于足够小的，所有的二次项都可消去。下面简化三次方项。（2）三次项的简化记，同样根据式（6）得

3、到同调算子在该基下的矩阵为（8）注意到，表明不满秩，其秩为3。的基解向量为，因此约化后的三次项为。Word可编辑资料专业分享（3）高阶项的简化考察第次项的基函数，计算（9）因此为对角矩阵。具有零空间的条件是（）（10）可见当和同为偶数时上式成立，因此所有偶数次项可经PB变换逐步消去。（4）简化结果（11）令可将上式化为实数形式（12）上式的极坐标形式为（13）将上式在处Taylor展开得（14）式中，以及。这里和分别为方程（3）实数形式的非线性项。3．讨论考虑和时的非退化情况，此时特征值实部具有横截性（当时横穿虚轴）。根据方程（14）第一式得到相应的二维系统平

4、衡点和极限环为，其稳定性由决定。a.若，则渐近稳定；若，则不稳定。Word可编辑资料专业分享a.对于，。若，则该极限环渐近稳定——超临界Hopf分叉；若，则该极限环不稳定——亚临界Hopf分叉。图5给出了这两种情形的相轨迹和分叉图。图5.Hopf分叉问题定理1：（Poincare-Andronov-Hopf定理）若二维系统满足（1）（2）具有共轭复特征值（3）则该系统的平衡点在时失稳，出现如图5所示的Hopf分叉。说明：条件表示通有Hopf分叉（对小扰动持久），否则发生退化Hopf分叉，平衡点产生多个极限环。八、周期运动的分叉考虑单参数维自治系统，该系统闭轨为

5、，周期。设Poincare映射的不动点是，下面用Poincare映射方法来研究闭轨的分叉。将Taylor展开（15）式中，的特征值为Word可编辑资料专业分享1．静态分叉（）：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部。取，否则作平移即可。引入代数方程（15）显然Poincare映射不动点正是该方程的解。根据，存在如下等价关系：(a)某一，其它；(b)矩阵有零特征值，其余均有负实部（正实部导致发散，不存在）；(c)非线性方程具有奇异点。静态分叉：对应有一个零特征值，而其余特征值均有负实部，分叉类型取决于Poincare映射导算子在奇异点处的值。例1：分析映射的

6、分叉。解：在处特征值为1，不动点由得到。若，为不动点。由，知，出现鞍结分叉。例2：分析的分叉。该映射在处出现跨临界分叉。例3：分析的分叉。该映射在处出现叉形分叉。上述映射的分叉结果分别如图6所示。图6.鞍结分叉、跨临界分叉和叉形分叉2.倍周期分叉（）Word可编辑资料专业分享例4：分析的分叉。解：（1），不动点：，在处出现叉形分叉。（2）二次迭代映射，在处出现的不动点叉形分叉。除外还有另一条不动点曲线经过。的不动点就是映射的周期2点，因此在处出现的倍周期分叉，如图7所示。图7.映射的周期倍化分叉图图8.与Poincare映射的Flip分叉对应的周期倍化分叉说明

7、：（1）闭轨的倍周期解位于一Mobius带上，其稳定流形为3维，因此二维自治系统闭轨不会产生倍周期分叉；（2）与Poincare映射的Flip分叉对应的周期倍化分叉在Poincare截面上出现一对倍周期点，依次可能产生倍周期分叉（）。3.Naimark-Sacker分叉（）此时存在一对模为1的共轭复根，其Poincare映射在不动点具有二维中心流形，将Poincare映射投影到二维中心流形上，得到二维Poincare映射（16）这里，其Jacobi矩阵满足N-S分叉的条件（17）将二维映射（16）在原点附近Taylor展开（18）下面将式（18）化为范式形式。

8、(a)简化二阶项取变换并代入到式（18