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1、第29卷第4期力学进展V61.29No.41999年11月25日AD、A/NCESINMECHANICSNvo.25,1999非线性时滞动力系统的研究进展胡海岩王在华南京航空航天大学振动工程研究所,南京210016摘要具有时滞的动力系统广泛存在于各工程领域.本文从动力学角度对时滞动力系统的研,.究进展作一综述内容包括时滞动力系统的特点、研究方法、动力学热点问题的研究进展等由于时滞动力系统的演化趋势不仅依赖于系统的当前状态,还依赖于系统过去某一时刻或若干.时刻的状态,其运动方程要用泛函微分方程来描述,解空间是无穷维的即使系统中的时滞
2、非常小,在许多情况下也不能忽略不计.对于非线性时滞常微分方程,目前的研究思路基本上与常微分方程系统理论相平行.主要研究方法可分为时域法和频域法,前者包括几ylor级数法,,,.中心流形法Pioncare映射法等后者包括Nyquist法等目前对这类系统的动力学研究主要.、、:集中在稳定性HofP分岔混沌等方面研究表明时滞动力系统具有非常丰富和复杂的动力学行为,如单变量的一维非线性时滞动力系统可发生混沌现象,与用常微分方程描述的系统有本质性差别.另一方面,人们可巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为,如时滞反馈控制是控制混沌的主要方法之一
3、最后,本文展望了存在的一些问题以及近期值得关注的研究.关键词非,时滞动力系统,稳定性,混沌,分玄,线性振动微分方程1引言在工程中,许多动力系统可由状态变量随时间演化的微分方程来描述l[一15].这其中,相,当一部分动力系统的状态变量之间存在时间滞后现象即系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态,也依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态.我们将这类动力系统称作时滞动力系统`一1].,.、【4,10,1近年来时滞动力系统己成为许多领域的重要研究对象在电路15,15]光学`[9一2`]、神经网络!22]、生物环境与医学14,`7]、建筑结
4、构[23]、机械[24一26]等领域,人们对时滞动力系统作了大量研究,取得了许多重要成果,并且巧妙地利用时滞来控制动力系统的行为.例如,时滞反馈控制已成为控制混沌的主要方法之一27】.【,,和常微分方程所描述的动力系统不同时滞动力系统的解空间是无限维的其理论分析往往很困难.因而,开展对时滞动力系统的研究既是一件非常有意义的事情,也是富有挑战性的一个前沿研究方向14}.:一一,:一一收稿日期19980416修回日期一9990302,国家杰出青年科学基金(59625511)资助项目501下面我们首先概述了时滞动力系统的一些特点,然后介
5、绍了目前的主要研究方法以及研究,,,的若干动力学热点问题包括稳定性判据(主要针对力学系统的)分岔分析与混沌现象以及控制混沌的时滞反馈控制策略等.最后,对存在的一些问题及进一步可能的研究作了展望.2时滞动力系统的一些特点时滞动力系统已不能简单地用微分方程来描述,其数学模型是时滞微分方程(组).例如,含单个时滞的单自由度系统的振动可归结为如下时滞常微分方程的初值问题,,,,,。士(t)+e士(t)+kx(t)=f[tx(t)x(t一二)云(t)士(t一二)]t>t。(1),,,x(t)=功(t)岔(t)=叻(t)t〔伴。一二t。」其中
6、T>0为系统的时滞.关于时滞微分方程的数学理论可参考文献【1~4,10,n}.,,,。一二对于时滞微分方程(l)其初始条件由定义在t[t0]上的连续可微函数确定系统在亡>t。后的行为不仅依赖于t。时刻的状态,而且与t[。一二,lt0.因而,这一时间段的运动有关时滞系统的解空间是无穷维的.若令时滞二=O,则时滞常微分方程系统退化为常微分方程系统.在实际建模时,人们很自然地忽略小时滞,而将时滞动力系统约简为普通动力系统.然而从动力学的角度看,这样做是不可靠的.事实上,容易举出反例【川,存在这样的时滞动力系统,其约简的微分方程的零解不稳
7、定,但对任意时滞,原方程的零解是稳定的;反之亦然.对周期解的存在性也有类似的结论.一个时滞微分方程存在o,Ho.,HfP分岔时其约简的常微分方程却可以不产生fP分岔因此在许多情况下,必须直接研究时滞微分方程.时滞对系统的动态性质有很大的影响.例如,时滞常常导致系统失稳.又如,时滞系统一,.:对于般有无穷多个特征值从而从一个侧面说明时滞系统是无穷维的笔者在文[281中证明,,。自由度线性时滞反馈振动系统则只有2n个特征值在相应的无时滞系统的特若时滞很小;;征值附近时滞系统的最危险特征值派生于无时滞线性反馈系统的最危险的特征值但随着时
8、滞增加,已有诸特征值的危险程度会发生交换,并且特征方程还会派生出新的危险特征值.非线性时滞动力系统比用常微分方程所描述的动力系统有着更加丰富的动力学行为.例,8一2,,,如一阶非线性自治时滞系统会产生分岔与混沌1,29]而对常微分方程来说一阶系统和
