非线性信号处理21非线性动力学初步

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1、非线性‘时间’信号处理陶超2010.3.3第二章非线性动力学初步2.1动力学系统的含义Ameansofdescribinghowonestatedevelopsintoanotherstateoverthecourseoftime.Technically,adynamicalsystemisasmoothactionoftherealsortheintegersonanotherobject.Whentherealsareacting,thesystemiscalledacontinuousdynamicalsystem,andwhen

2、theintegersareacting,thesystemiscalledadiscretedynamicalsystem.2.2线性系统-微分方程的的矩阵形式二阶线性微分方程记矩阵形式：三阶线性微分方程…2.3常系数线性微分方程组的解与相图常系数微分方程组的解常系数微分方程组解可以写成一个标量和一个向量的乘积由于所以或者是非零解当且仅当v是特征值λ对应的特征向量如果特征方程有n个互不相同的实特征值λ1……λn，它们所对应的特征向量为v1,……,vn，方程组的n个线性无关解通解为得到特征值第一步：解特征方程常系数微分方程组的求解步骤：

3、第二步：解线性方程组例一（鞍点）考虑方程第一步：求特征值第二步：求特征向量方程的通解：时间序列x1(0)=2,x2(0)=-2(c1=2,c2=0)tx1tx1x1(0)=0.1,x2(0)=0.1(c1=0,c2=0.1)x1(0)=2,x2(0)=-1.995(c1=1.9975,c2=0.0025)tx1相图(x1,x2)坐标平面中画出的解的图像也非常有指导性x空间中的图像称为解的相图(2维-相平面，高维-相空间)有两个异号实特征值的线性系统的零解（相平面的原点）称为鞍点。也称这种系统为鞍点x2x1v1v2例二（稳定节点）考虑方程

4、第一步：求特征值第二步：求特征向量方程的通解：稳定节点的相图两个负实特征值-稳定节点节点(node)本意是群枝分出的点稳定(stable)t趋向无穷大时，解趋向于原点v2x2x1v1例三（不稳定节点）考虑方程第一步：求特征值第二步：求特征向量方程的通解：不稳定节点的相图两个正实特征值-不稳定节点v2x2x1v1例四（零特征值）考虑方程第一步：求特征值第二步：求特征向量方程的通解：相图x2x1v1例五（复特征值）考虑方程第一步：求特征值第二步：求特征向量方程的通解：相图x2x1两个纯虚数特征值-中心点例六（稳定焦点）考虑方程第一步：求特征

5、值第二步：求特征向量方程的通解：稳定焦点特征值是一对负实部共轭复数的微分系统称之为稳定焦点x1例七:拟周期(准周期)系统考虑非耦合调和振子令方程的解准周期解若R1,R2都不等零，则这个解是以T为周期的周期解当且仅当存在整数k,m使得若解是周期解，两个频率的比值必须是有理数，若这个比值是无理数，则此解不可能为周期解，且它由两个不同的频率产生，这种类型的解称为拟周期解(准周期解quasiperiodic)周期解的相图准周期解的相图