非线性单摆的研究

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1、单摆是日常牛活中常见的一种物理现象，用一根细绳的一端拴着一个重物,把另一端固定，当重物来冋摆动时，就形成了一个单摆模型。本文讨论理想单摆和非线性单摆的分析方法，着重讨论非线性单摆的角度和角速度的关系及用摄动法求解一类特殊非线性单摆（duffing振子）。并介绍儿种常用的数学求解单摆方程的方法。关键字：无阻尼；周期强迫；任意角度；阻尼振子；非线性；摄动法；平均法AbstractSinglependulumisacommonphysicphenomenoninourlife.Tieanobjectwithaline,fa

2、stentheotherside.Whentheobjectrockaround,wecangetasinglependulum.Themaincontentofthispaperistodiscussthemethodofanalysistheidealsinglependulumandthenonlinearsinglependulum.Weputoureyeontherelationshipbetweentheanglespeedandtheangleacceleration.Thenwewillusepert

3、urbationmethodtosolveonespecialanglependulumequation.Atlastwewillintroducesomecommonwaystosolvetheproblem.Keywords:nodamp,periodforced,anyangle,dampflap,nonlinear,perturbationmethod,averagemethod.目录一、无阻尼振荡的分析1二、周期强迫振动的分析4三、摆角为任意角度的分析5四、阻尼振子的分析8五、有摩擦强迫振动的分析10六、非

4、线性振子的分析12七、摄动法求解duffing振子方程(perturbationmethod)151、正规摄动法(regularperturbationmethod)162、PoicarQ法：17八、用平均法求解单摆方程19参考文献21附件22一、无阻尼振荡的分析一、无阻尼振荡的分析如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：ma=-mgsin&(1)d2s因为d20e把(2)代入(1)式可得ml+/ngsin&=0drd20g・Qn—+—sini9=0

5、dt2I将(3)两端同除以ml可得令©=Jg,其中为自然频率.则(4)可变为d23°+加sin&=0dt2°当&很小时，sin&=&故有，—^+69^=0dr解此方程得：e⑴=c严+C2e~^f若&为实数，则有/=即C[e~ia)Qt+=Cxei0)Qt+C2e~l^°r所以，C严C；,G=C；令GG=-222(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)一、无阻尼振荡的分析(10)(11)则有&⑴=号(“(如+0)+严如+。))=Acos(如+°)0(r)=Acos@of+0)从能量守恒方面考虑:d2eqn丽+e

6、(0=°令g理，则有dt可变形为rde

7、cole1（势能）.则有T+V=Ef机械能守恒.二&宀+二血=e为椭圆方程：220.60.42a图OO9-Oeolup/EQln4-O2O2-O一.无阻尼振荡的分析图1b图1a的图像为摆动角度&及角度&的导数随吋间变化的曲线，其中实线表示角度&随吋间的变化，点线表示&的导数（即角

8、速度）随吋间的变化。图1b表示单摆在空间中的运动轨迹。-1.5-108-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81theta5aO50BO5LUP■2（图2）图2反映的是&的导数哮随着&的变化而变化，表示出了方程（16）当Edt取不同的值时所对应的不同轨线，随着E的增大，椭圆也就越大。二、周期强迫振动的分析二、周期强迫振动的分析当有外驱动力作用于单摆时，则单摆方程可写成以下形式:91=—F⑴m由己学知识可知，方程（17）的解由通解和特解构成。x^+a）^x=O=>x0=Acos（6J0r+«）(17)令尸=/

9、cos（%+0）,可知方程（17）的特解形式为兀］=bcos（%+0）,把此特解代入（17）式，有f-y2/?cos(x+0)+爲bcos(”+0)=丄cos(”+0)m(18)解得b-―7—n诚轴=厂)故(17)方程的解为fX=ACOS(690Z+Q)+—厂¥HCOS(X+0)加(吗-r)(19)现在讨论发生共振的情况：要发生共振，则必须满足