弱阻尼非线性单摆的周期研究

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1、第28卷第8期大学物理Vol_28No．82009年8月C0LLEGEPHYSICSAug．2009弱阻尼非线性单摆的周期研究何松林，戴祖诚，黄焱(昆明学院物理科学与技术系，云南昆明650031)摘要：用平均法研究了弱阻尼条件下非线性单摆的振动，得到周期比随角振幅和阻尼常量变化的表达式关键词：有阻尼单摆；周期；平均法中图分类号：0332文献标识码：A文章编号：1000-0712(2009)08-0020-03单摆是大学物理中的重要模型，在理论及实验=一Oo(f)e一‘I~cos[∞，f+(￡)]+，sin[

2、to，t+(t)]}教学中都有重要作用¨．近年来单摆周期的研究(9)主要集中在无阻尼单摆周期的近似计算方法和令=tO，f+(t)(10)单个因素对单摆振动周期的影响’两个方面．本将式(8)求导得文采用平均法近似求解弱阻尼下非线性单摆的运动=e(dOocossins-O0~orsin)方程，得出角振幅与阻尼两个因素对单摆周期的影响规律，对丰富单摆周期的研究有一定的意义．(11)1弱阻尼非线性单摆运动方程的平均法近将式(11)与式(9)比较得似解cos。sin=0(12)在有阻尼的情况下，非线性单摆的运动方程将

3、式(9)求导得为。=e[_ddOo(ssin)+6}0·+2／3+∞sin0=0(1)将sin0展开为泰勒级数并近似取前3项：(卢sin一∞，c。s)】+e‘[。(卢一sin+c2∞：)COS~b+2to,flO0sin](13)将式(8)、(9)、(13)代入方程(3)得令：O)o，式(1)变为dOno(JBc。ssin)(nq,-a,,e。s)=d￡+2卢+=(03_05)(3)_oe-2~t(一050-2~tcus5)(14)当8=0时，式(3)化为由于很小，故上式右端括号内的e一‘1．令+2／36+

4、tOoz0=0(4)在弱阻尼条件(∞。2)下，方程(4)的解为F=3。s3一嘉cos5(15)=Ooe‘COS(t+0)(5)则式(14)可化为：dOo=一0oe‘[Bcos(∞，t+0)+tO，sin(tO，f+0)](6)：一旦e一rFsinJh~(16)_一d=一一e，B1nIln●、t∞．其中为角振幅，而dt=一eFc0s(17)∞，=√∞(7)tO，Oo、设方程(3)与方程(4)有相同形式的解：将Fsin、Fcos展开为傅里叶级数，按KBM=0o(t)eCOS[tO，抖(t)](8)平均法的恩桐加

5、]．采用零次谐波作为首次沂似．右收稿日期：2008—10—29；修回日期：2009—04—07、基金项目：昆明学院科研基金资助项目(2009L009)作者简介：何松林(1964一)，男，云南保山人，昆明学院物理科学与技术系副教授，主要从事理论物理教学及研究工作第8期何松林，等：弱阻尼非线性单摆的周期研究21Fsin=Ko(0。)=Z一JIFsind=0(18)0s。cZ订Js=孚6一0斗0(19)将式(18)代入式(16)得dt：0(20其解为Oo(t)=0。(21)将式(19)代人式(17)得誓：一一O一

6、)rO0(I孚一)J(【2z2，t／stls图1非线性与线性阻尼振动曲线比较式(22)的解为=南(一)e-2Bt+~：c23其中=一旦fo),fl~16一)(24)：==1=：一‘29将式(21)、(22)、(23)及=代人式(8)，得到弱肚Ttoo阻尼单摆非线性运动方程。e+券2(2一)e】蕊1(30)一f‘tO2o(25)其中一券2(妾2一)(26)将(一82)丁I一一三2一及(一磊)一l⋯2f+2准周期运动的周期代入式(30)得在空气中实际进行单摆实验时，。约为3，卢约R{+[一oo2+一(+Oo2一

7、)一为0．005．图1显示了在∞。=3，卢=0．005条件下，对应不同的角振幅取值，按式(25)得到的运动曲线(-+警一)】c3(虚线)与按式(5)给出的线性阻尼振动曲线(实线)的比较．角振幅小于10。时，两者无差别；随着角振幅的增大，两者的差异也在增大；但看上去非线性=一一++面一一(【¨+鲁一面)J一(I·H+30o2一面4)J情况下运动的准周期性仍存在，不同的仅仅是周期随角振幅的增加而增大．和0：项，结果为为了求出准周期运动的周期，将式(25)中的e-2~t进行级数展开，取前两项近似得尺一十++(-+

8、)+(+普+4)0=Ooe-Otco8{[1-(2+)鬟】to,t+q~o)(27)准周期运动的频率为=1一(+)鬟(28)22大学物理第28卷中进行实验时，口约为0．005，此时空气阻力对周期[4]鞠衍清，张风雷．基于MATLAB的单摆周期近似解的的影响可以忽略，大摆角引起的非线性起主要作用．比较[J]．大学物理，2007，26(3)：6__9．[5]谭志中，罗礼进．用局部常化三倍角公式研究单摆周综上所述，本文