影响单摆振动周期的参数研究

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1、教学讨论影响单摆振动周期的参数研究龚善初摘要:应用振动分析的方法，研究了单摆的周期受摆角摆球的线度地球纬度摆球离地面的高度介质黏度和介质密度参数的影响;作出了周期比随参数变化的曲线.结果表明:单摆的周期随摆角摆球的线度摆球离地面的高度介质黏度和介质密度的增大而增大，随地球纬度的增大而减小.中图分类号:0313文献标识码.A文章编号.10002071262006)0620012204单摆是火学物理屮的一个理想物理模型/U,在摆角很小冷<时，无阻尼单摆作谐振动，其振动周期与摆角及摆的质量无关.然而在实际应用中，由于介质阻力、浮力、地球纬度、摆球的线度、摆球离地而的卨度等参数的影响，振动周期会发生

2、变化.本文将对上述影响单摆振动周期的参数逐一进行分析并应用Maple作图/2<得出振动周期随各参数的变1摆角对单摆周期的影响摆长为/的单摆作有限振动时其沄动方稈为+=0,<9单摆在振幅f即摆角5时，无阻尼单摆作简谐振动的角频率.其振动周期T0=^式n)是非线性微分方程,它的精确解是笫一类完全椭圆积分/3利用积分法可求得当

3、sin2^inV

4、<1时，利用二项式定理将被积函数展开成幂级数，再逐项积分，取前4项得非线性振动周期G与谐振动周期仏的比R'=今，为i0_la10()17武Al=1+16+3072+737280'3>为便于作图，将式屮的3弧度化为角度，并取0驾

5、多0?则A,随摆角3的变化曲线如图1所示.图1A随摆角G的变化曲线由图1可知，周期比A随摆角6)的增大而增大.2摆球线度对单摆周期的影响在讨论摆球线度对单摆周期的影响时，処理搭长通常是悬挂点到摆球质心的距离，设悬挂点到摆球质心的距离为/,摆线的质量忽略不计，摆球的质量为半径为/•，忽略摆球摆动引起的/的变化I3IImIrA1irmnMI事•—i—•t•■I惯量为〃:/2+f/Hr2,则单摆周期为FP将式6V化简得收稿日期:2005-09-16;修回日期:2006-02-27作者简介:龚善初(1964一，男，湖南常德人，揭阳学院机电工程系副教授，主要从事力学教学与研究工作1当fv1时，将式对

6、卞展开成Taylor级数，取前4项得周期比为10为便于作图，取Z=1.0m,0

7、有引力公式知，ftlg/r=jj也m—(R^h)2fSh=则一处地(R+h)2IJlR由图2可知.周期比^随摆球半径z•的增大而増大.3重力加速度对单摆周期的影响重力加練度不仅和地球的纬度有尖.坏和物体离地而的高度有关.下而分别讨论地球的纬度和物体离地面的高度对单摆周期的影响.3.1地球纬度对单摆周期的影响我们知道，甶于地球的自转，物体所受的重力与地球对物体的引力不但大小不相等<除物体在两柺外），而且方向也不一致<除物体在两极或在赤逭外八因此重力加速度随地球纬度的变化而变化.设单摆装置所在地的纬度为6根据近代大地测量，重•丄•、—X.两lb*.

8、_I..w•*/两69•/、-X■£■9.一V

9、///麵TnA/'0.000007sin226>为便于比较，我们在T0=2if中取g=<10；则在考虑丁物体离地谢的高度时单摆的周期r32与To的周期比A32=7为o穴32=i+fav为便于作图，取地球平均半径为6380km，物体离地而的高度0930km,则7?32随离地而的高度A的变化曲线如图4所示.由图3可知，周期比随地球纬度0的增大而减/I、诈拙球去逍h他揀妹庇0=f）。甭；hilll诚度g®小，周期比最大,•在地球两极，地球纬度<9=90?重力加速度g最大，周期比/?3i最小.由图4可知，周期比心2随摆球离地面的高度//的增大式知，ftlg/r=jj也m—(R^h)2fSh=则一处地

10、(R+h)2IJlR由图2可知.周期比^随摆球半径z•的增大而増大.3重力加速度对单摆周期的影响重力加練度不仅和地球的纬度有尖.坏和物体离地而的高度有关.下而分别讨论地球的纬度和物体离地面的高度对单摆周期的影响.3.1地球纬度对单摆周期的影响我们知道，甶于地球的自转，物体所受的重力与地球对物体的引力不但大小不相等<除物体在两柺外），而且方向也不一致<除物体在两极或在赤逭外八因此重力加速度随地球纬度的变化而变化