资源描述：
《大幅角单摆振动周期的研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、大幅角单摆振动周期研究的综述周越赵诚嘉刘汉发王丽丽张文贤张桢阚健等(B机制091)摘要：运用插值法、Jacobi椭圆函数法、微分方程的数值解法，研究了大幅度单摆的周期公式。由插值法计算出的单摆周期与精确周期相比其相对误差较小，与其他文献得到的周期公式相对误差和比是最小的，具有较强的实用性。采用Jacobi椭圆函数分析单摆的运动，结果的误差也是较小的。运用经典4阶Runge-kutta的方法来研究周期公式，并结合Matlab作图。一、任意摆角下单摆周期公式的推导如图，摆灿L的单摆从一较人起摆角叽开始
2、摆动，某时刻运动到摆角为0处。忽略摩擦力和空气阻力的作用，其运动遵循机械能守恒定律。取运动最低点为势能零点，则有：1mg(l-CosO{})=—7?7V2+mg(1-CosO)(1)卄ir-dO其中v=Lev=L—lde2gJCosO一Cos%dt代入⑴式整理得dt=两侧积分t=L『%*2g』）yJCosd-CosO（｝出单摆振动的对称性知de⑵式中0的积分上界为0°,但被积表达式Jcos0_CosQ限制0工0”乂°二°0处存在一条渐近线，则⑵式为反常积分，无法用数值模拟求解。Sin-考虑换元积分
3、法，令Sin（p=h-S加弘2则⑵式化为*式为第一类完全椭圆积分，可将其展开成无穷级数形式厂=2龙土[1+（护2+（卜》2宀…+（卜卜…乂罕）2宀…]g224242i二、插值法1、线性内插法1n*式中令f（以）=h宀•’（〔°，上为单值函数）。屮一IcSirrcp2取点（0,1）,（彳,°）,其中0=吟=二Cos牛，得相应直线解析式:乙厶乙y=l-—（l-a）x'71则其中"岭即ln(l+Cas^0)-ln2T二一1J2+2Cos%-2其屮To=2列?其相对误差表示为71/Fd(p22Iy]i-
4、k2Sin2(pInc.+1-a2、抛物线内插法*式中令]^l-k2Sin2(p（［0,彳］上为单值函数）。时也存島）得相应抛物线解析式:82>/21?24逅1y=r(1_/,+/,)兀~—(3—一+/)%+1兀yl2-k2y!-k2兀yj2-k2yj-k2则T厂誓皿=4卩[鸟(1-严+-J=)x3--(3-严+-J=)x2+x]器Vg3兀y/2-k2J1-疋n』2_亡Vl-fc2色+輕+亠6yjl-k2J1—F其中+即(3+Cos%(2+2Cos%)其中%=2兀其相对误差表示为（T由⑶式得
5、出）3、四点曲线内插法2711亍），（亍丁二丁），得相应三次曲线解析式:曲)(6)其相对误差表示为（T由⑶式得出）取点©J‘G'r^=24(1_8^+1^_2)%3+4(1_.+2)%2兀yj-k2y)2-k2y]4-k2矿Jl-疋丁4-疋+丄(一亠一启+輕+4)“兀Vl-Jt2yj4-k2yj2-k2则,ftr6z18^218小42/1弋+尹(不+丄(-亠-斗+*+4)宀谚=—T(1]+4血—)2°3丁1-疋y/2-k2丁4_疋其中k=Sin%232^)(1_3&+2Cos%*^3+Cos0(
6、}_j+Cos%4、猜想通过比较T„T2,T3相对误差的大小，猜想丁3比丁2精确,丁2比T］精确。二、Jacobi椭圆函数法具体方法：为了便于理解，先给出以下Jacobi椭圆函数的定义，列出木文用到的几个基本公式与微分方程。Jacobi椭圆函数：一般的，正弦函数也可以用它的反函数来定义。女lhx=sinu,它的反函数可以定义为式屮积分值U是积分上限X的函数。类似地，Jacobi椭圆正弦函数，它是第一类椭圆积分的反函数，第一类椭圆积分的定义是F（以）叮d(pdz令z二sin(),x=sinW,贝9(
7、7)我们定义:dz心*山豐泞&(8)的反函数为Jacobi椭圆正弦函数sn（u,k）,简涵snuo注：k为Jacobi椭圆函数的模，P为x的振幅函数，记做V=amu,当k二0时，退化为三角函数。把Jacobi椭圆正弦函数、Jacobi椭圆余弦函数和第三类Jacobi椭圆函数分别定义为：snu=sin(amw)=sin0cnu=cos(amm)=cos(pdnu=(l-^2sn2w)l/2由（7）及（8）可知，当振幅册二n/2,即x二17T时，u二K(k)；邃K(k)=fAOJl-fsinS由定义式
8、可得学「1-fsi"于是利用此式和sn,cn,dn三者的定义式,du就可以求得它们的导数公式如下:—(snu)=—(sincp)=-^―(sin
