非线性单摆的周期解与混沌解及其混沌控制

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1、第16卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.16No.22003年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)April2003文章编号:1006一7353(2003)02一0001(01】一3非线性单摆的周期解与混沌解及其混沌控制’黄报星(江汉大学物理与信息工程学院武汉430056)摘要:对非线性单摆解进行分析和计葬机数位仿真，表明混沌解和周期解共存是非线性系统的一个特征。适当选择负反债可控制泥池系统由混沌运动转化为周期这动。关链词:非线性系统;周期解;流沌解;数值仿真中圈分类号:O4

2、15文献标识码:A1963年，Lo。在研究大气对流中，由可化为一个线性微分方程。它和其解是大家二维热对流运动的偏微分方程出发，经傅里熟知的，单摆作简谐振动。振动频率与初始叶分解、截断、无量纲化，得到一组三阶非线条件无关，与能量无关。设单摆还受与角速性常微分方程，即Lorenz方程。数值计算表度一次方成正比的阻尼作用和角频率为口明，该方程的解是一个混沌解，从而掀起了全的周期策动力作用，则单摆的运动方程为球性的非线性研究的热潮。混沌是指在确定9+2声+sing=了cosdlt(2)性系统中，出现类似随机的过程。系统对初(2)式是一个已经无量纲化的非线性微分方值的依

3、赖性十分敏感，从物理上看，得到的解程。单摆的运动情况变得非常复杂。需要讨似乎是随机的过程，这种过程是由该确定性论它的解和解的结构。系统固有的内在随机性引起的，是非线性动2非线性单摆保守系统力学系统内在随机性的一种表现。这种无规对方程(1)积分一次，得则并不是计算方法的近似性引起的，而是初告8+1一cos9二H(3)始数据的非无限精确引起的。它不是一种暂(3)式是一个能最守恒方}R,H为系统的总态，在充分长时间后，结构已进入“定常”运机械能。系统(1)改写为动，这种不规则仍存在，它的不规则具有某种8=。统计特性。本文通过单摆问题，讨论非线性(4)山=一sing间

4、题的周期解和混沌解及其混沌控制。这是一个非线性保守系统，初始条件不同，系1单摆的运动方程统的总机械能不同。它也是一个少数能得到设刚性细棒长l，质量不计，一端固定质解析解的非线性系统，在此我们利用Matlab量为。的小球，且仅受钢棒与重力作用，构数值解法得到系统(4)的e一。相图，如图1成一个单摆。相对于平衡下垂位置的角位移所示。图中(0,2nm)是中心点，(0,(2.+1)为e，重力加速度为9，则单摆运动方程为二)是鞍点，n=0，士1，士2,---。围绕中心点0+手sing一0(‘)的圆轨线是线性单摆的振动解，单摆作简谐门)式为非线性微分方程。当摆角0<5*时

5、，振动。穿过鞍点的轨线为分界线，分界线内收稿日期:2002一02一26武汉市科技局科技计划资助项目(20015007090一11),万方数据第16卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.16No.22003年4月JournalofHigherCoaespondenceEducation(NaturalSciences)八pril20仍的闭合椭圆轨线是非线性单摆的振动解，单分界线不能由一个鞍点达到另一个鞍点，异摆作非简谐振动，振动频率与初始条件有关。宿轨线消失了。分界线外的波形轨线是非线性单摆的旋转3.2有阻尼有策动的情况解，单摆作旋转运动。非线性单摆的非简谐

6、有阻尼有驱动存在的情况，非线性单摆振动与转动，都是周期性运动，它们的解都是的运动方程(2)可改写为周期解，只是它们的频率与初始条件有关。0=山(6)山=一2/u一sin0+fcosflt(6)式是一个很复杂的系统，到目前为至，尚不能求出其解析解。由于计算机技术的快速发展，我们可以用数值计算来了解它的解与解的拓扑结构。给定阻尼系数R.策动力频一-一一~、~__/-一一、一__率习和策动力强度f，由计算机数值仿真得0二--}5..-出系统(6)的0一。相图。我们在计算机上图1非线性单摆保守系统的0一。相图监视相轨线的发展，发现经过一暂态过程，它3非线性单摆能f#9

7、散系统最后进人到一个较为简单的终态，我们关心3.1有阻尼无驱动的情况的就是这个终态。取阻尼系数R=1/a，策动有阻尼存在的情况下，系统不断耗散能力频率。=2/5，给策动力强度f不同的值，量，单摆不具有稳定的周期。系统增加了阻得到一系列不同的相图，取f=0.1--0.975,尼项相图为一系列极限环，f=0.979--0.98，相0=。图为闭合曲线，极限环与闭合曲线表示系统(5)山=一2脚一sin6的周期运动。由f=0.988起，系统进人混(5)式是一个耗散系统，其相图的拓扑结构发沌运动，相图为不闭合无限长曲线，间隔仍有生很大的变化，如图2所示。中心点变为稳闭合曲

8、线出现。即混沌区内镶嵌许多周期窗口，在