单摆的非线性振动 毕业论文

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1、学号20095040046本科毕业论文学院物理电子工程学院专业物理学年级2009级姓名论文题目单摆的非线性振动指导教师职称副教授2013年05月07日目录摘要1ABSTRACT11引言12单摆的线性振动23单摆的非线性振动33.1任意角度时单摆的振动情况33.2有阻尼单摆的振动43.3考虑空气阻力时大角度单摆的运动54确定系统中的内在随机性75结论8参考文献89单摆的非线性振动学生姓名：刘坤敏学号：20095040046学院：物理电子工程学院专业：物理学指导老师：熊宝库职称：副教授摘要：本文介绍了单摆的线性与非线性振动规律，分析了单摆在大角度和阻

2、尼下的运动，建立单摆的运动方程。运用泰勒级数展开，用大角近似，然后运用导数微分方法计算单摆的运动学方程，研究单摆的运动规律。同时又从单摆的非线性运动讨论了确定系统中的内在随机性。关键词：单摆；线性振动；非线性振动Thenon-linearityvibrationofsinglependulumAbstract:Thisarticledescribesthesinglependulumlinearandnonlinearvibrationregulation,analysisofthemovementofthependuluminthelarge-

3、angleanddamping,establishmenttheequationofmotionforthependulum．UsingtheTaylorseriesexpansion，withlarge-angleapproximation,andthenusethederivativedifferentialmethodpendulumkinematicequationstostudythelawofmotionofthependulum．Atthesametimeandfromthenon-linearmotionofthependulum

4、discussedtheinherentrandomnessofthedeterminedsystem.Keywords:singlependulum;thelinearvibration;nonlinearvibration1引言单摆是用不可伸长的轻绳悬挂一小球（质点）构成的，如图1所示，将小球视为质点，它受重力与悬线拉力的作用，质点在沿铅直面内沿圆弧摆动，且摆动中相对悬线垂直位置的角位移很小。通过对小球做受力分析可知质点沿运动方向所受的力为：。9图1单摆单摆的振动是物理学中的一个重要问题。在大学物理的力学教学中都要研究单摆，解决单摆问题的关键

5、是建立物理模型，而单摆模型是讨论和处理有关单摆运动必不可少的要素，尤其是对于单摆的运动周期。由于单摆或者类似单摆的运动都是在一定环境中进行，在运动的过程中或多或少会受到阻力的作用，而我们平常所看到的很多对单摆的研究都基于小角情况下的，因此具有一定的局限性。在小角情况下，一般在的情况下考虑，过于简单和理想化，而很多情况下单摆的摆角都大于，单摆的运动也不再是最简单的简谐振动[1]。近年来，人们对非线性物理越来越感兴趣。2单摆的线性振动单摆如图1所示，若忽略空气阻力，单摆的运动方程为-=（1）其中J为转动惯量，当单摆作微小振动是，摆角很小，取。则+=0

6、将带入上式，得+（2）令，有9+（3）则（2）式的解为。其中：，为角频率，,为周期。（3）式与简谐振动的动力学方程形式一致。可见，单摆作微角振动时，为简谐振动，具有简谐振动的特征[2]。3单摆的非线性振动3.1任意角度时单摆的振动情况自由单摆的运动方程为+=0（4）当摆角很小时，，这时上式化简为简单的线性方程，单摆的运动也就成为最简单的简谐振动[3]。但当摆角可以取到之间的任意值时，上式不再是线性方程，其所描述的运动也不再是简单的简谐振动。现令（5）上式两边同时乘以并积分得（6）设初始条件为：，，，则（7）将上式代入（6）式得（8）上式又可写为（

7、9）所以，当，且时，由上式得（10）9上式中的正负号表示，当摆锤从最高点以释放时，有两种可能的运动状态，正号表示逆时针方向旋转，负号表示顺时针方向旋转。类似地，当，时，由（9）式得到(11)上式表明在，的初始条件下，单摆运动到最高点（）时,其后的运动也具有沿正反两个方向旋转的可能性。式（10）和（11）均说明，在确定的条件下，运动不再是唯一的，运动在状态空间出现了不同的分支，并且有一定的随机性[4]。3.2有阻尼单摆的振动在有阻尼的情况下，单摆的运动方程为（12）式中为不存在阻尼是系统的固有频率，称为阻尼系数。该方程的解分三种情况：1.欠阻尼状态

8、当阻力很小，以致，由（12）式可求出单摆此时的运动方程为（13）其中而周期，，很显然，即弱阻尼情况下单摆振动周期变长，如图2（a）所示。