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1、单摆的运动规律分析摘要：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。关键词：单摆线性微分方程非线性微分方程正文：单摆的理想模型是，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑空气阻力。在此基础上还可以进一步考虑受阻力情况。单摆在摆动过程中要受到空气阻力的影响，且其在摆动的过程中可能会出现不在同一平面内的情况，若考虑这一系列问题，求解就会变得比较复杂了，首先把问题理想化，假设单摆由不可伸缩的轻绳与一质量为m的小球组成，不考虑空气阻力。I.由刚体绕定轴转动的微分方程可知：ml2d20-mglsi
2、n&dt2当&很小时:W+70=°•…(2)0od200令T则原式化为。……⑶做任意角度摆动时的情况:力2/9乔+2"……⑷II.受大小与速度成正比的阻力作用时:^--k—+w2sin&=0……(5)dt2dt做小角度摆动时可近似为:^-+k—^w20=O……(6)drdt英中⑵、（3）、⑹式为线性微分方程，⑴、（4）、⑸式为非线性微分方程。1）小角度震荡时将sinO近似看作8i.函数文件：functionfc二fO（t,y）globalg1fc=[y（2）-g/l*y⑴]'ii.绘图程序：clearclcglobalg1萨9.8;1=1；w0=input('wniO?，
3、)[t,y]=ode45('fO',[0,100],[0,wO*piJ，);plot(t,y(:,1),'r)titlef0-t图');xlabel('时间/s');ylabelC0/rad，);gridiii.图像：取wm0=0.5.0.60.40.2o-0.2-0.4-0.6-0.80102030405060708090100时间/se-t图2)振幅增大后，8将不满足近似条件。i.函数文件：functionfc=f1(t,y)globalg1fc=[y(2)-g/l*sin(y(l))J，ii.绘图程序：clearclcglobalg1kg=9.8;1=1;wO=inpu
4、t('wmO?，)[t,y]=ode45('fl',[0,50],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'b')titled9-t图')；xlabel('时间/s');ylabel('0/rad');gridiii.图像：仍取wm0=0.5.和近似的结果相比:0.6曲图周期已经有了变化•而当vmO的值增大（如L5）时，变化就更明显了.3）进一步考虑空气阻力.设物体所受空气阻力大小与其相对空气的速率成正比，比例系数为k,方向与物体相对空气的速度方向相反.i.函数文件：functionfc二f2(t,y)globalg1kfc=[y(2)-g/l*sin(y(
5、D)-k*l*y(2)]'ii.绘图程序：clearclcglobalg1k沪9.8;1=1；k=input(,k?');w0=input('wmO?，)[t,y]=ode45('f2',[0,50],[0,w0*pi]');plot(t,y(:,1),'k')title('()-1图');xlabelC时间/s');ylabelC0/rad');gridiii.图像：仍取wm0=0.5,k取0.4.
