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1、单摆运动的描述（1）无阻尼单摆（小角度）上式中令，得到如下方程：上述方程即为相图的方程，可由此方程画出无阻尼单摆在小角度下的相图：代码如下：%w0=2%E=2时symsxy;%x表示角度,y表示角速度ezplot('x.^2+4*y.^2-4'),holdon%E=3时symsxy;ezplot('x.^2+4*y.^2-6'),holdon%E=4时symsxy;ezplot('x.^2+4*y.^2-8'),holdon%E=0.5时symsxyezplot('x.^2+4*y.^2-1'),holdonxlabel('角度')ylabel('角速度
2、')title('无阻尼小角度单摆运动相图')上图中不同的同心椭圆表示在不同的能量下单摆的运动相图，在画上图时，令，改变能量E得到一簇同心椭圆。改变会改变椭圆的形状，当时，椭圆变成圆。下面时无阻尼小角度单摆的运动轨迹分析：此时只要求解上述的微分方程，然后改变其中的初始条件即可，其中求解微分方程的代码如下：%w0=1时%初始角度为pi/4时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角度为pi/3时dsolve('D2y1+y1=0','y1(0)=pi/3,Dy1(0)=0','t
3、')%此时令y1为角度%初始角度为pi/2时dsolve('D2y2+y2=0','y2(0)=pi/2,Dy2(0)=0','t')%此时用y3表示角度画图的代码如下：%初始角度为pi/4时t=0:pi/50:4*pi;y=(pi*cos(t))/4;plot(t,y),holdon%初始角度为pi/3时y=(pi*cos(t))/3;plot(t,y,'r'),holdon%初始角度为pi/2时y=(pi*cos(t))/2;plot(t,y,'g'),holdonxlabel('时间')ylabel('角度')title('无阻尼小角度单摆在不同初
4、始角度下的运动轨迹')legend('初始角度为pi/4的图','初始角度为pi/3的图','初始角度为pi/2的图')出的图如下：当初始角度固定不变，改变初始角速度时，也会画出图，此时将初始角度固定为pi/4，画这些图首先需要求解运动方程，求解方法和上述相同，求解微分方程的代码如下：%研究初始角度相同，初始角速度不同的时候单摆的运动轨迹%此时都令初始的角度为pi/4%初始角速度为0时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=0','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为1时dsolve('D2y+y=0','y(0
5、)=pi/4,Dy(0)=1','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为2时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=2','t')%用y表示角度，Dy表示角速度%初始角速度为3时dsolve('D2y+y=0','y(0)=pi/4,Dy(0)=3','t')%用y表示角度，Dy表示角速度下面是画图的代码：t=0:pi/50:4*pi;%w0=0y=(pi*cos(t))/4;plot(t,y),holdon%w0=1y=sin(t)+(pi*cos(t))/4;plot(t,y,'r'),holdon%w0=2y
6、=2*sin(t)+(pi*cos(t))/4;plot(t,y,'g'),holdon%w0=3y=3*sin(t)+(pi*cos(t))/4;plot(t,y,'c'),holdonxlabel('时间')ylabel('角度')title('相同初始角度，不同初始角速度下的运动轨迹')legend('初始角速度为0的图','初始角速度为1的图','初始角速度为2的图','初始角速度为3的图')画出的图如下：（2）倒立摆分析倒立摆的方程为，和小角度摆相同的是，同样通过求解方程得出运动轨迹，根据上式直接画出相图。画图的代码如下：%倒立摆的运动相图绘制
7、%w0=1symsyx;%E=0时h=ezplot('y^2-x^2'),holdonset(h,'color','c')%E=1时ezplot('y^2-x^2-2'),holdon%E=2时h=ezplot('y^2-x^2-4'),holdonset(h,'color','r')%E=3时h=ezplot('y^2-x^2-6'),holdonset(h,'color','b')%E=4时h=ezplot('y^2-x^2-8'),holdonset(h,'color','k')xlabel('角度')ylabel('角速度')title('倒立摆
8、的相图')legend('E=0的图','E=1的图','E=2的图','E=3
