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1、单摆振动运动规律的傅立叶分析院系XX专业XX姓名XX[问题]单摆振动运动规律的傅立叶分析对单摆振动规律进行傅立叶分析。[数学模型]如A5.2图所示，设摆锤质量为m，角位置为θ，摆锤的运动方程为θlmgOftTA5.2图，即，(5.4.1)在小角度的情况下，sinθ≈θ，可得，(5.4.2)其中，ω0为圆频率。可知：单摆在小角度时作简谐振动，小角度周期为。(5.4.3)可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。摆锤的角速度为ω=dθ/dt，因此，由(5.4.1)式可得，积分得，当t=0时，ω=0，θ=θm，可得C
2、=-gcosθm/l。因此角速度大小为。(5.4.4)注意：角速度是单位时间内角度的变化率dθ/dt，圆频率是简谐运动中2π时间内周期性运动的次数2π/T，它们常用字母ω表示，单位也相同，但意义不同。单摆的周期为。(5.4.5)对于任何角振幅θm，通过数值积分和符号积都能计算周期。利用半角公式可得。设，(5.4.6)并设ksinx=sin(θ/2)，因此，可得，即。(5.4.7)这是椭圆积分。第一类完全椭圆积分定义为，(5.4.8)周期为。(5.4.9)[算法]对于任何一个角振幅θm，利用(5.4.5)式，通过MATLAB数值积分指令qu
3、adl和符号积分指令int都可计算单摆的周期。利用MATLAB的完全椭圆积分指令ellipke也能计算单摆的周期。不过，MATLAB定义的一类完全椭圆积分定义为，(5.4.8*)周期可表示为。(5.4.9*)其中。(5.4.6*)取t*=ω0t为量纲时间，(5.4.1)式可化为，(5.4.1*)取θ(1)=θ，θ(2)=dθ/dt*，可得，。(5.4.1**)初始条件是θ(1)=θm，θ(2)=0。由于，因此θ(2)表示以ω0为单位的角速度。由于，因此，无量纲时间除以2π就是以小角周期T0为单位的时间。取l为坐标单位，则摆锤的坐标可表示为
4、x*=x/l=sinθ，y*=y/l=-cosθ。(5.4.9*)简谐振动的角位移可表示为。(5.4.10*)其中T*=T/T0是约化周期。简谐振动的角速度可表示为。(5.4.11*)[程序]zhou13_1ode.m如下。%单摆振动规律的傅立叶分析clear%清除变量thetam=input('请输入单摆角振幅的度数:');%键盘输入角振幅thm=thetam*pi/180;%化为弧度T=ellipke(sin(thm/2).^2)*2/pi;%用椭圆积分计算精确周期n=2^8;%数据个数wt=linspace(0,2*pi*T,n);
5、%无量纲时间向量options.RelTol=1e-6;%相对精确[wt,TH]=ode45('zhou13_1ode_fun',wt,[thm,0],options);%计算角度和角速度theta=TH(:,1)*180/pi;%角位移向量fg=figure;%建立图形窗口并取句柄plot(wt/2/pi,theta,'linewidth',2)%画角位移gridon%加网格fs=16;%字体大小xlabel('ittrm/itTrm_0','fontsize',fs)%x标签ylabel('itthetarm/circ
6、','fontsize',fs)%y标签title('单摆角位移的傅立叶分析','fontsize',fs)%标题text(0,-thetam,['itT/Trm_0=',num2str(T)],'fontsize',fs)%pause%暂停holdon%保持图像h=plot(wt/2/pi,zeros(size(wt)),'r.','erasemode','xor');%画线并取句柄Cn=fft(theta);%离散序列的傅立叶变换cn=Cn/n;%求复系数a0=cn(1);%平均值%text(0,a0,num2str(a0),'f
7、ontsize',fs)%显示平均值文本n=1;%求和下标x=a0;%常量An=[];%频谱变量置空while1%无限循环an=2*real(cn(n+1));%取实部bn=-2*imag(cn(n+1));%取虚部An=[An,2*abs(cn(n+1))];%连接频谱xn=an*cos(n*wt/T)+bn*sin(n*wt/T);%求分量x=x+xn;%累加分量set(h,'ydata',x)%设合成线plot(wt/2/pi,xn,'color',rand(3,1))%画分支线yn=input('还要吗(y/n)?','s');%
8、键盘输入iflower(yn)=='n',break,end%判断退出n=n+1;%波的个数加1end%结束循环figure%创建图形窗口stem(1:n,An)%画杆图gridon%加网格x
