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《证明数列极限存在的六种方法-顾庆荷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、邢台师范高专学报1998年第2期价八妙八粉八公八U八材执彭诀州八公八峪八发一J曰砂燕协执公汤砂茂协确甘八砂怂砂扮甘八甘确_征明敬娜姆解存在的六种方堆⋯__一_一一___⋯;⋯一一一令顾庆荷一一毓撬头头撬鑫桑撬鑫撬襄巍巍巍巍盗鑫鑫盗巍认鑫盗巍盗裹鑫巍毅巍襄鑫头鑫扁声极限理论是整个数学分析的基础,数列极限是全部极限理论的重要组成部分,本文试通过。举例说明判定数列极限存在的几种方法、一利用数列极限定义/甲21例l:证明11,,,=0(u)l)‘之,之:al,证令()O、则21(一、/,”镇访l),,,人_、_,。、T.、丫、r,、。,,:_,_o「l飞、二)z
2、,,二对任给,一1<￡,刀>1,一,对>N时,一寸<“一,二‘栩之>0解得取N当有成立由数列极赢弃⋯方」计。限定义有/i),,=0”。忍子一扭〔厂,,,,。。用定义证明极限必须注意N的关键作用只有当>N时有估计式}妈一al<此例,,,利用二项公式将}氏一目的是寻找满足定义要求的N(。)因此在放大过程中不01适当放大能放大,:,,过r头放大到最后应是城一O(~co)、二利用极限性质,_,_··,_、+十+n,了一1222⋯(1)例乙匕却叽=一一一下了一--一一—,证明,。一z、”一冬一即JKK+2、一全(l)全兀全K证明:’·’。入一兀万=匕一~下~2,一7
3、722··+1)2+,十+‘((,(,音省223一nz一31卫3n一十+。。,,,:。,一1112一。故,、一,-,而当n口」不下不U,冬呻o一一~n2月JJ尹Z3一国J邢台师范高专学报l()t)8年第2期这种方法:,,,,要求能转化为用已知收敛的数列表示的形式而对有些数列这种转化并不容易,‘:,限制在两个,。但可以把已知收敛数列之间这时可采用如下方法、三利用迫敛性例。一:·3设不+)1+-,,+2‘又二l)()一Z::U一证明{告—:丁-厂一.刃a证明了万认丽范斗不<丽念而丽气z了十2272十22十1)缸—八一十:⋯不月气万子而ha六习坏万不卞‘一,,-
4、一分项合并得、:r“,艺<(土击六)<二)一、一卜z:,,,,,·(工一,由迫敛性,:“7一呵气却告抑省‘,,,执,一。,,,运用此法的关键将适当放大与缩小般是从数列}{出发将其通项放大后得数列一。,,,,,。,:,,,}缩小后得数列{b}并使{}与{b}的极限都存在且相等放缩的技巧基本上类似应用,。N定义证数列极限时关键是掌握一甸常用方法不等式的放缩的各种方法、四利用级数收敛的必要条件,“,,“八一‘,”·该方法步骤简单且容易奏效其根据是若级数洛、收敛则扭鱿故将证明极限。为零的问题转化为级数收敛问题’‘21夕UO飞止12)21一一明‘_、,__J,二’‘
5、,I_L,,、,。,.、:、」___’‘;z二_二扩2,z~*。、l,.。,::,2,一~~!一,,证明设饼九兀劣止狈较鳅乙厂一不一阴叹殴l王田达明只小列圳汰月月二l刀,‘+’,,21,,z丝匕l=21刀2(十生一立兰‘,;+,Z必’‘,,月~伪””。la一()2!’‘.=11,722(六)e一2一丈”2n!,,所以级数乙=的收敛的由级数收敛的必要条件知它的一般项以零”=!刀’‘,z为极限,即m2li、五利用单调有界原理a,:a,,一‘,,2a,;一4l;,,,,例5设数列{}满足条件0<(=123⋯)十,证明z。,;。一杏,~二乙:a,,,,
6、:证明本数列{}的有界性为已知的只须证单调性用极值法可以证明邢台师范高专学报1998年第2期、、￡J一:)、对V呀“,/l(1因而有a,l,,告都成立l一a)飞百,,,:十,一。。,>()再由已知条件告)之,:十,:,‘l一aa,)(l一aa())于是得a,:+,>a,,’.‘0(a。(1a,,由单调有界原理知,乌,()则{{单调增加z动存在,,,不妨设l白na二AA的求值/,、、,,,、,二1一1‘一,:,,十田、a)a,2百月以一八,八务万,,:,,,‘、.由“,·*/1簇一告月又i一八/八谈万,。”于是(1一A)A一得A=故,im一粤冬冬月”砰‘~
7、中乙,、,,这种方法无需知道有限只根据数列本身的性质(单调有界)即可知极限存在然后在关,,系式两边取极限得一方程解得数列极限值这是单调有界原理证明极限存在和求极限的典型方法。’但此法有很大的局限性,只适用于判定单调数列的收敛性,判别任一数列的收敛性还有下面的方法、六利用柯西准则,:设·、·+卜⋯上zi;a,,。例6一平鹦证明n存在:对任自然数证明尸,:+,:a。一a=l十n+l)2n+2)2⋯n+P)2(((‘.1.JL.书.lL.1一lesesesesJ1二we1l,+l<二2,尸--~-,又十一十n+一‘[卫__JL,、‘⋯n+P)2(1)戈TI.‘/
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