证明数列极限存在的六种方法

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1、维普资讯http://www.cqvip.com邢台师范高专学报1998年第2期证明教0I一_l。．薯爱0爱．I．蕞。嚣蕞蕞囊誓麓《『I．誓毪遗一_强套_一奠美．爱*麓堑极限理论是整个数学分析的基础，数列极限是全部极限理论的重要组成部分，本文试通过十一D～举例说明判定数列极限存在的几种方法。ll一、利用数列极限定义十一例1：iiENli=0(日>1)一证：令n=1+，l(，z>0)则K～1一一一／～n”一(1+，z)”『l～～，对任给>0，解√7，l￡。h。，取N：[Lfi-。h。]j，当，z>N时，

2、有a“N时有估计式Ia，一nI<￡。此例曩_蠢．我"■．利用二．项麓．公麓式．将Ia，一0I适当放大，目的是寻找满足定义要求的N(￡)，因此在放大过程中不t警麓甍能放大过了头，放大到最后应是M，一0(，z一。o)—二、利用极限性质tN2已=，证明，r·∞=吉J证明：’．a，：圭二二圭二3=号++而当一。o时，吉一号，一0，3231"I一0．lim口=jj一‘，f一∞“{j73维普资讯http://www.cqvip.c

3、om邢台师范高专学报l998年第2期这种方法要求c』J能转化为用已知收敛的数列表示的形式，而对有些数列，这种转化并不容易，但可以把“，限制在两个已知收敛数列之间，这时可采用如下方法三、利用迫敛性例3设．+证明：证明：玎十'f+．．’十<<十+．．十÷分项合并得(一1)<<一)[i)ll(一)：1~l／ira·一_i)=，一一由迫敛性，故_，?=号运用此法的关键将适当放大与缩小，一般是从数列{}出发，将其通项放大后得数列，缩小后得数列{6，并使{}与{b}的极限都存在且相等，放缩的技巧基本上类似应用e—定义证数列极

4、限时的常用方法，关键是掌握不等式的放缩的各种方法：四、利用级数收敛的必要条件该方法步骤简单且容易奏效，其根据是“若级数‰收敛，I)．11I1i1~l=0”c故将证明极限，一为零的问题转化为级数收敛问题。例6证明?：0l~证明：设=2nT．，，研究无穷正项级数墨，的收敛性，由达朗贝尔判别法，有：·．=li~gt2()”一，)=<1∞1¨-所以级数∑=譬的收敛的，由级数收敛的必要条件知，它的一般项以零=I'}为极限'目p=0五、利用单调有界原理例5设数列{}满足条件O(，1，2，3，⋯证明l

5、ira="一∞证明：本数列{口}的有界性为已知的，只须证单调性，用极值法可以证明：74维普资讯http://www.cqvip.com邢台师范高专学报1998年第2期(1≤丢对7,17C-R都成立，因而有(1)≤再由已知条件(1一)＆l>1，有(1一[)“，l>(1“，)“，．于是得l>(‘．‘0<“<1)，则{∽}单调增加，由单调有界原理知iDl“存在一不妨设¨=A，求A的值由(1一)l>1，有(1一A)A≥{由(1-一“，≤1r~-(1一A)A~1，了：是(1一A)A=1得A=1~liran=，—。这种方法无

6、需知道有限，只根据数列本身的性质(单调、有界)，即可知极限存在，然后在关系式两边取极限得一方程，解得数列极限值，这是单调有界原理证明极限存在和求极限的典型方法C但此法有很大的局限性，只适用于判定单调数列的收敛性，判别任一数列的收敛性还有下面的方法六、利用柯西准则例6设=ntg1+孝+⋯+证明存在c证明：对任自然数P=i+，+l<号[南+南+．．’+南]<号[++．．．+丽]一2l行+1+。+l一，2+2+。．、．．+。十P一1一行+P]j：一]<号·于是，对Ve>0，3N=[旦2]，当>N时，对任自然数P，都有I

7、口一口l