知识点6 证明极限式与证明极限不存在的方法

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1、学科：高等数学第一章函数与极限知识点6证明极限式与证明极限不存在的方法精选习题作者：邹群arctanx例6.1(难度系数0.2)证明：lim0.xx解析：利用函数极限的定义进行证明，即设找X.arctanx2证明：对于任意的0，因为，只要x，取X，则当xx22arctanxarctanxxX时，恒有，即lim0.xxx例6.2(难度系数0.2)111设x111，证明：当n时x的极限存在.n222n23n解析：此题数列通项的因子个数趋于无限，思路是将无限个因子化为有限个因子.利用阶乘将数

2、列通项化简，然后再直接求解.2221112131n1证明：limxlim111limn222222nn23nn23n2131n12131n1lim2nn!n1!n1!n11limlim2n2n!n2n2所以，当n时x的极限存在.n2例6.3(难度系数0.4)证明：当x0时，fxsin的极限不存在.x解析：利用反证法，假设极限存在，通过函数极限与子列极限的关系，找到两个趋于不同值的子列，再利用极

3、限的唯一性得到矛盾.22证明：不妨设limsin的极限存在，取两个趋于0的子列，x0x2k2，k.2k/222但sinsin2k1，sin2232k22k23sin2k1，两个子列的极限值不相等.根据函数极限与子列极限的关系22可得fxsin的极限不存在.x1arctan例6.4(难度系数0.4)证明：limx不存在.x012arctanx11解析：由limarctan，limarctan，可知需要通过讨论左右极限来证x0x2x0x

4、2明.11arctanarctanx2x2证明：lim，lim，左右极限x014x0142arctan22arctan2x2x21ex不相等，故lim不存在.1x02ex例6.6(难度系数0.6)证明nlimn1.n解析:利用二项式定理及数列极限的定义来证明，注意定义中N的选择要保证不等式恒成立即可.证明：令n，则n1hnnn(n1)2nn(n1)2n(1h)1nhhh1h(n2).nnnnn2!2n(n1)22n2即当n2时，n1h，于是得h.也就是n1.nn2nn

5、4n2故对于任意的0,取Nmax2,,当nN时，便有n1h，2nnn所以limn1.n11例6.7(难度系数0.4)设a2,a(a),(n1,2,3,)，证明:1n1n2anlima存在，nn并求出其极限a.解析：由数学归纳法来证明数列a单调和有界，然后由单调有界准则可知n极限必存在.最后通过解方程可求解其极限.此方法在知识点10将有详细介绍，这里仅举一例.111证明：首先易见a0且a(a)a1.即数列有下界.nn1nn2aann115a2，a(a)，则aa.121122a41假设aa，下面

6、对n用数学归纳法证明.上面已经证实n=1时成立.nn1设n=k时结论成立，即aa，则当n=k+1时：kk1111111aa(a)(a)(1)(aa)0，即aa.k1k2kk1kk1nn12a2a2aakk1kk1故数列a单调递减.所以由单调有界准则可知，lima存在.nnn1111令limaa，对方程a(a)两边取极限得a(a)，解得a1.nn1nn2a2an