2011年清华金秋营数学试题及解答

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1、１１６数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）·课外园地·２０１１年清华金秋营数学试题及解答丁永泉（湖北省麻城一中，４３８３００）π２π…ｓｉｎ（ｎ－１）π１［（ａｋｋ－１１．求ｓｉｎｓｉｎ的值．＝ｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋ａ１ｐ＋ａ０）－ｎｎｎｐ－１解设ε＝ｃｏｓππ（ｉ为虚数单位），则（ａｋ＋ａｋ－１＋…＋ａ１＋ａ０）］＋ｉｓｉｎｎｎｎ－ＳＰ（ｎ）１，ε，ε２，…，ε２（ｎ－１）为ｘ２ｎ－１＝０的根，且＝ｐ－１．ｋπｋ－ｋ２ｋ（２）设ｐαｓｉｎ＝ε－ε＝ε－１，｜｜（ｎ＋１）（ｐ为ｎ＋１的任一素因ｋｎ２ｉ２ｉε子），即ｎ＋１＝ａｋｐｋ＋ａｋ－１

2、ｐｋ－１＋…＋ａαｐα（０≤ａｉ所以≤ｐ－１，且１≤ａα≤ｐ－１），则π２π…ｓｉｎ（ｎ－１）πｋｋ－１αｓｉｎｓｉｎｎ＝ａｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋（ａα－１）ｐ＋（ｐ－ｎｎｎα－１α－２（ε２－１）（ε４－１）…［ε２（ｎ－１）－１］１）ｐ＋（ｐ－１）ｐ＋…＋（ｐ－１），＝１２ｎ＝２ａｋｋ－１αｎ－１ｎ－１ｎ（ｎ－１）ｋｐ＋２ａｋ－１ｐ＋…＋２（ａα－１）ｐ＋２ｉε２α－１α－２（－１）ｎ－１（ε２４２（ｎ－１）２（ｐ－１）ｐ＋２（ｐ－１）ｐ＋…＋２（ｐ－１），－１）（ε－１）…［ε－１］＝ｎ－１（ｉｎ－１）２（２ｎ）！Ｃｎ２显然２ｎ，Ｃｎ＊，＝２

3、ｎ∈Ｎ（１－ε２）（１－ε４）…［１－ε２（ｎ－１）］ｎ！（ｎ＋１）！ｎ＋１＝，ｎ－１Ｓ（ｎ）＝ａ…＋（ａ）＋α（ｐ－１），２ｐｋ＋ａｋ－１＋α－１而（ｘ２２）（ｘ２４）…［ｘ２２（ｎ－１）］＝ｘ２（ｎ－１）Ｓ（２ｎ）＝２［ａ…＋（ａ）］－α（ｐ－ε－ε－εｐｋ＋ａｋ－１＋α－１２（ｎ－２）２＋ｘ＋…＋ｘ＋１，所以－１）－ｔ（ｐ－１），（ｔ≥０）．（１－ε２）（１－ε４）…［１－ε２（ｎ－１）］＝ｎ，（Ｃｎ）＝Ｏｒｄ（２ｎ！）－２Ｏｒｄ（ｎ！）Ｏｒｄｐ２ｎｐｐ因此，ｓｉｎπ２π·…·ｓｉｎ（ｎ－１）πｎ２Ｓｐ（ｎ）－Ｓｐ（２ｎ）ｓｉｎ＝ｎ－１．＝ｎ

4、ｎｎ２ｐ－１２．定义符号Ｏｒｄｐ（ｎ）（其中ｎ为整数，ｐ为素α（ｐ－１）＋ｔ（ｐ－１）＝数）满足：若Ｏｒｄ（ｎ）＝ｍ，则表示ｐｍｐ｜ｎ，并且ｐ－１ｍ＋１＝α＋ｔ≥α，ｐｎ，定义Ｓｐ（ｎ）表示ｎ在ｐ进制表示下各位数字之和．αｎ，即（２ｎ）！＊∴ｐ｜Ｃ２ｎ∈Ｎ．ｎ－Ｓｐ（ｎ）ｎ！（ｎ＋１）！（１）求证：Ｏｒｄｐ（ｎ！）＝；（３）由题知：若ｐ为ｎ＋１的素因子，且ｐαｐ－１｜｜（ｎ（２ｎ）！＋１），则（ｐ，ｍ）＝（１，（ｐ，ｎ））＝１．（２）利用（１）的结论证明：为整数；ｎ！（ｎ＋１）！设ｎ＋１＝ａｋｋ－１α（ａｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋ａαｐα≥（ｎ（ｍ＋

5、１））！ｋｋ－１（３）利用（１）的结论证明：为１），ｍｎ＝ｂｋｐ＋ｂｋ－１ｐ＋…＋ｂ０（ｂ０≥１），（ｍｎ）！（ｎ＋１）！则ｎ＝ａｋｋ－１αｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋（ａα－１）ｐ＋（ｐ整数．α－１α－２－１）ｐ＋（ｐ－１）ｐ＋…＋（ｐ－１）解（１）设ｎ＝ａｋｋ－１ｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋ａ０，ａｉｋｋ－１ｍｎ＋ｎ＝（ａｋ＋ｂｋ）ｐ＋（ａｋ－１＋ｂｋ－１）ｐ＋…∈｛０，１，２，…，ｐ－１｝，则αα－１＋（ａα＋ｂα－１）ｐ＋（ｂα－１＋ｐ－１）ｐ＋…＋（ｂ０＋∞Ｏｒｄ（ｎ！）＝［ｎ］＝ａｋ－１＋ａｋ－１ｐｋ－２＋…＋ｐ－１），ｐｉｋｐｉ＝１ｐｋ－２ｋ－

6、３Ｓｐ（ｎ）＝ａｋ＋ａｋ－１＋…＋（ａα－１）＋α（ｐ－１），＋ａ１＋ａｋｐ＋ａｋ－１ｐ＋…＋ａ２＋…＋ａｋｋｋ－１Ｓｐ（ｍｎ）＝ｂｋ＋ｂｋ－１＋…＋ｂ０，ｐ－１ｐ－１＝ａｋ·＋ａｋ－１·＋…∵ｂ０≥１，ｐ－１ｐ－１ｐ２－１ｐ１－１Ｓｐ（ｍｎ＋ｎ）＝（ａｋ＋ｂｋ）＋（ａｋ－１＋ｂｋ－１）＋…＋ａ２·＋ａ１·ｐ－１ｐ－１＋（ａα＋ｂα－１）－α（ｐ－１）－ｔ（ｐ－１），·课外园地·数学通讯———２０１２年第７、８期（上半月）１１７（其中ａ，ａ，…，ａ，共有ｔ次由ｘｎ２）…（ｘ－ｋ＋ｂｋｋ－１＋ｂｋ－１α＋ｂα－１＝（ｘ－１）（ｘ－εｎ）（ｘ－εｎ进位

7、），ｎ－１），可得１－ｘｎεｎ＝（１－ｘ）（１－εｎｘ）…（１（ｎ（ｍ＋１））！Ｃｎｎ－１），显然ｍｎ＋ｎ，－εｎｘ＝（ｍｎ）！（ｎ＋１）！ｎ＋１ｎ－１ｎ（１－εｊ）∴Ｏｒｄｐ（Ｃｍｎ＋ｎ）ｎ－１ｎｔ∴１ｉ＝０ｊ≠ｉｎ，＝Ｏｒｄｐ（（ｍｎ＋ｎ）！）－Ｏｒｄｐ（ｎ！）－Ｏｒｄｐ（（ｍｎ）！）１－εｋ＝ｎ－１＝１－ｔｎｋ＝０ｎｔ（１－εｋ）Ｓｐ（ｍｎ）＋Ｓｐ（ｎ）－Ｓｐ（ｍｎ＋ｎ）ｎｔ＝ｋ＝０ｐ－１ｎ－１１ｎ１＝α＋ｔ≥α，∴ｋ＝ｎ－１－ｔｋ＝１１－εｎｔ１－ｔ（ｎ（ｍ＋１））！αｎ，即＊２ｎ－１）∴ｐ｜Ｃｍｎ＋ｎ∈Ｎ．ｎ－（１＋ｔ＋ｔ＋…＋

8、ｔ（ｍｎ）！（ｎ＋１）！＝ｎ１－ｔ３．原有的乘法交换律为ｘｙ＝ｙｘ，现定义新的（１－ｔ）＋（１－ｔ２）＋…＋（１－ｔｎ－１