2011年清华金秋营数学试题及解答.doc

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1、2011年清华金秋营数学试题及解答1.求sinsinsin的值。解：设（i为虚数单位）,则1,为的根。，sinsinsin===,而=,2.定义符号Ord(n)(其中n为整数，p为素数）满足：若Ord(n)=m，则表示p

2、n,并且p҂n,定义S(n)表示n在p进制表示下各位数字之和.（1)求证：Ord(n!)=（2)利用（1）的结论证明：为整数.（3)利用（1）的结论证明：为整数.证明：（1）设n=ap+++a,a{0,1,,p-1}则Ord（n!)==ap+++ap+a+ap+++a++a=++++==(2)设p

3、

4、(n+1)(P为n+1的任一素因

5、子)即n+1=ap+ap+ap(0ap-1,且1ap-1)则n=ap+ap++(a-1)p+(p-1)p+(p-1)p++(p-1)2n=2ap+2ap++2(a-1)p+2(p-1)p+2(p-1)p++2(p-1)显然S(n)=a+a++(a-1)+(p-1)S(2n)=2(a+a++(a-1))-(p-1)-t(p-1)(t0)Ord（C)=Ord（2n!)-2Ord（n!)===,即.(3).由题知：若p为n+1的素因子，且,则（p,m)=(1,(p,n))=1,设n+1=ap+ap+ap(amn=bp+bp+b(b则，n=ap+ap+(a-

6、1)p+(p-1)p++(p-1)mn+n=(a+b)p+(a+b)p+(a+b-1)p+(b+p-1)p+(b+p-1)S(n)=a+a+(a-1)+(p-1)S(mn)=b+b+b,,S(mn+n)=(a+b)+(a+b)+(a+b-1)-(其中a+b,a+b,+a+b,共有t次进位）显然，Ord（（mn+n)!)-Ord（n!)-Ord（(mn)!)==,即。3.原有的乘法交换律为xy=yx,现定义新的乘法交换律为yx=pxy,而乘法结合律与分配率保持不变。例如：（x+y)=x+xy+yx+y=x+(p+1)xy+y(1)设（x+y)=，求证：

7、a是以p为变元的整系数多项式；(2)求a.解：(1)易知（x+y)==(x+y),且a=a=1a是以p为变元的整系数多项式.(2)=C(a+pa)+C(a+pa)p=Ca+Cpa+Cap==Ca+Cpa+Cpa++Cpa=C+(C+C)pa+(C+C)pa++Cpa=C+Cpa+Cpa++Cpa==C+Cp+Cp++Cpa=1+Cp+Cp++Cp4.设e,试求：，，解：,为的n个根.由根与系数的关系知，()===-===当t=1时，==，=====又=当n=2m时，=0为上式的根=当n=2m+1时，类似可得2====。