题库第3讲函数的奇偶性

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1、第3讲函数的奇偶性一、选择题1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于(　　)．A．－5B．－6C．－D．－解析　f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，∴f(log6)＝－.答案　D2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)．A．－1B．0C．1D．2解析　(构造法)构造函数f(x)＝sinx，则有f(x＋2)＝sin＝－sinx＝－f(x)，所以f

2、(x)＝sinx是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin3π＝0，故选B.答案　B3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－

3、x－4

4、，则下列不等式一定成立的是(　　)．A．f>fB．f(sin1)f(sin2)解析　当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－

5、x＋4－4

6、＝2－

7、x

8、，显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin＝>，又f＝f>f，所以f

9、>f.答案　A4．已知函数f(x)＝则该函数是(　　)．A．偶函数，且单调递增B．偶函数，且单调递减C．奇函数，且单调递增D．奇函数，且单调递减解析　当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．答案　C5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f

10、(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为(　　)A．2B．－1C．－D．1解析f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.答案　D6．设函数D(x)＝则下列结论错误的是(　　)．A．D(x)的值域为{0,1}B．D(x)是偶函数C．D(x)不是周期函数D．D(x)不是单调函数解析　显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．

11、答案　C二、填空题7．若函数f(x)＝x2－

12、x＋a

13、为偶函数，则实数a＝________.解析　由题意知，函数f(x)＝x2－

14、x＋a

15、为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－

16、1＋a

17、＝1－

18、－1＋a

19、，∴a＝0.答案　08．f(x)＝2x＋sinx为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是________.解析　f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)

20、x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．解析　由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案　(－2,0)∪(2,5)10．设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．解析∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，∴f(

21、2x

22、)＝f，又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴

23、2x

24、＝，即2x＝或2x＝

25、－，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.答案－8三、解答题11．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)

26、1－m

27、)，f(m)＝f(

28、m

29、)，因此f(1－m)

30、R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f