第3讲函数的奇偶性与周期性教案

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1、授课时间检测平均分第3讲　函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．【复习目标】本节复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念(1)设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－∈D，且或，则这个函数叫做奇函数．(2)设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－∈D，且，或则这个函数叫做偶函数．(3)奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于

2、y轴对称．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于原点对称．(2)考查表达式是否等于或—；若＝—，或则为奇函数；若＝，或则为偶函数；若＝—且＝，则既是奇函数又是偶函数；若≠—且≠，则既不是奇函数又不是偶函数．即非奇非偶函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有＝．那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇

3、、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数在＝0处有定义，则＝0.第5页(2)设，的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．五问一问自己①你有“定义域优先”的好习惯吗？比如研究单调性和判断奇偶性时先做什么？②定义域关于原点对称的函数就一定有奇偶性吗？③=0是为奇函数的充要条件吗？④与有什么区别？各说明什么性质？⑤要求值，一般意味着什么？⑥你记住了几种具

4、有周期性的函数形式：=，=－，＝，＝－等双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中，其中是偶函数的是(　　)．A．B．C．D．解析　由奇、偶函数的定义知，A，B为奇函数，C为偶函数，D为非奇非偶函数．答案　C2．(2011·上海)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(　　)．A．B．C．D．解析　函数为偶函数，则f(－x)＝f(x)，故排除掉B、D，C选项中为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A.　　　　　　　　　答案　A3．“函数f(x)为奇函数”是“f(0)=0”的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充

5、要条件D．既不充分也不必要条件答案　D4．4．(2011·南昌调研)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析　由已知，得b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx.∴g(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)．∴g(x)为奇函数．答案　A5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________.解析　依题意，得∴a＝，b＝0，∴a＋b＝.答案　　考向一　函数奇偶性的判断【例1】►判断下列函数的奇偶性．第5页(1)f(x)＝＋；(

6、2)f(x)＝(x－1)；(3)f(x)＝.[审题视点]先求函数的定义域，并判断是否关于原点对称，再由奇、偶函数的定义判断．解　(1)由得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由得－1≤x＜1.∵f(x)的定义域[－1,1)不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(1)首先考虑定义域是否关于原点对

7、称，再根据f(－x)＝±f(x)判断，有时需要先将函数进行化简．(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．【训练1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－

8、x

9、＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝log2(x＋)．解　(1)∵f(x)的定义域[－1,4]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x＋)＝log2＝log2(＋x)－1＝－log2(＋x)＝－f